I problemi di matematica sull’ipotesi per assurdo aiutano gli studenti a sviluppare il ragionamento logico e a comprendere come sia possibile dimostrare un’affermazione partendo temporaneamente dalla sua negazione. Nel ragionamento per assurdo si suppone infatti che ciò che vogliamo dimostrare non sia vero e si analizzano le conseguenze di questa ipotesi. Se si arriva a una contraddizione con i dati del problema o con una proprietà matematica già conosciuta, l’ipotesi deve essere falsa e possiamo quindi accettare la conclusione opposta. I seguenti esercizi, pensati per uno studente di prima media, propongono applicazioni semplici e progressive di questo procedimento.
- Guarda anche: Cosa è la dimostrazione o il ragionamento per assurdo
Problema 1 – Il numero pari
Marco afferma che un numero naturale è contemporaneamente pari e dispari. Può essere corretta la sua affermazione?
Soluzione
Supponiamo per assurdo che esista un numero naturale che sia contemporaneamente pari e dispari.
Un numero pari è divisibile per 2 senza resto.
Un numero dispari, invece, diviso per 2 dà sempre resto 1.
Lo stesso numero dovrebbe quindi, nello stesso momento, avere:
resto 0
e
resto 1
nella divisione per 2.
Questo è impossibile.
Siamo arrivati a una contraddizione.
Conclusione: nessun numero naturale può essere contemporaneamente pari e dispari.
Problema 2 – Il numero maggiore
Luca sostiene che 48 è maggiore di 60. Dimostra per assurdo che la sua affermazione è falsa.
Soluzione
Supponiamo per assurdo che:
48 > 60
Se 48 fosse maggiore di 60, sottraendo 48 da entrambi i numeri dovremmo ottenere ancora una quantità positiva a sinistra rispetto a quella a destra.
Ma:
48 − 48 = 0
e
60 − 48 = 12
Dovremmo quindi accettare che:
0 > 12
Questa affermazione è falsa.
Siamo quindi arrivati a una contraddizione.
Conclusione: l’ipotesi iniziale è falsa e quindi 48 < 60.
Problema 3 – Tre numeri dispari
È possibile che la somma di tre numeri dispari sia un numero pari?
Soluzione
Supponiamo per assurdo che la somma di tre numeri dispari sia pari.
Sappiamo che:
- la somma di due numeri dispari è pari;
- aggiungendo un altro numero dispari a un numero pari si ottiene un numero dispari.
Facciamo un esempio:
3 + 5 = 8
8 è pari.
Aggiungiamo un altro numero dispari:
8 + 7 = 15
15 è dispari.
Lo stesso accade con qualsiasi gruppo di tre numeri dispari.
Avevamo supposto che il risultato fosse pari, ma le proprietà dei numeri ci portano necessariamente a un risultato dispari.
Abbiamo quindi ottenuto una contraddizione.
Conclusione: la somma di tre numeri dispari non può essere pari; è sempre dispari.
Problema 4 – Il numero naturale più grande
Esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri numeri naturali?
Soluzione
Supponiamo per assurdo che esista un numero naturale più grande di tutti gli altri.
Chiamiamo questo numero N.
Se N fosse davvero il numero naturale più grande, non dovrebbe esistere alcun numero naturale maggiore di esso.
Consideriamo però:
N + 1
Aggiungendo 1 a un numero naturale otteniamo ancora un numero naturale.
Inoltre:
N + 1 > N
Abbiamo quindi trovato un numero naturale maggiore di quello che avevamo definito come il più grande di tutti.
Questa è una contraddizione.
Conclusione: non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri. I numeri naturali continuano indefinitamente.
Problema 5 – Divisione per 5
Giulia sostiene di aver trovato un numero naturale che è multiplo di 5, ma che termina con la cifra 3. È possibile?
Soluzione
Supponiamo per assurdo che esista un numero naturale multiplo di 5 che termina con la cifra 3.
Sappiamo però che un numero è divisibile per 5 solamente quando la sua ultima cifra è:
0 oppure 5
Un numero che termina con 3 non soddisfa questa proprietà.
Avremmo quindi un numero che dovrebbe essere contemporaneamente:
divisibile per 5
e
non divisibile per 5.
Questa è una contraddizione.
Conclusione: non può esistere un multiplo di 5 che termini con la cifra 3.
Problema 6 – Il triangolo impossibile
Un alunno sostiene di poter costruire un triangolo con lati lunghi:
3 cm, 4 cm e 8 cm.
È possibile?
Soluzione
Supponiamo per assurdo che sia possibile costruire un triangolo con lati di:
3 cm, 4 cm e 8 cm.
Per poter costruire un triangolo, la somma delle lunghezze di due lati deve essere maggiore della lunghezza del terzo lato.
Consideriamo i due lati più corti:
3 + 4 = 7 cm
Ma il terzo lato misura:
8 cm
Avremmo quindi:
7 > 8
Questa affermazione è impossibile.
Siamo arrivati a una contraddizione.
Conclusione: non è possibile costruire un triangolo con lati di 3 cm, 4 cm e 8 cm.
Come riconoscere un problema risolvibile per assurdo
Per utilizzare correttamente il ragionamento per assurdo bisogna prestare attenzione a un elemento fondamentale: non è sufficiente formulare un’ipotesi qualsiasi. Occorre partire dalla negazione di ciò che vogliamo dimostrare.
Lo schema generale è:
1. Individuo ciò che devo dimostrare.
2. Suppongo che sia vero il contrario.
3. Sviluppo logicamente le conseguenze dell’ipotesi.
4. Arrivo a una contraddizione.
5. Concludo che l’ipotesi contraria era falsa.
6. La tesi iniziale deve quindi essere vera.
Ad esempio, se voglio dimostrare che non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri, suppongo inizialmente il contrario: esiste un numero naturale più grande di tutti. Da questa ipotesi ricavo però il numero successivo, che è ancora più grande. L’ipotesi si contraddice e deve quindi essere abbandonata.
Ragionamento per assurdo e falsa posizione non sono la stessa cosa
È importante non confondere il ragionamento per assurdo con il metodo della falsa posizione. Nel metodo della falsa posizione si formula un’ipotesi provvisoria per facilitare i calcoli e successivamente la si corregge confrontando il risultato ottenuto con i dati reali. Nel ragionamento per assurdo, invece, si assume intenzionalmente la negazione della tesi da dimostrare e si mostra che questa conduce a una contraddizione.
Nel ragionamento per assurdo, quindi:
ipotesi contraria → conseguenze → contraddizione → ipotesi falsa → tesi vera
Questo procedimento rappresenta un importante esercizio di logica matematica e prepara lo studente alle dimostrazioni che incontrerà negli studi successivi.
Conclusione
I problemi sull’ipotesi per assurdo insegnano a non limitarsi all’esecuzione dei calcoli, ma a ragionare sulle conseguenze logiche di un’affermazione. Attraverso esercizi semplici su numeri pari e dispari, divisibilità, numeri naturali e proprietà geometriche, uno studente di prima media può imparare gradualmente a formulare un’ipotesi contraria, individuare una contraddizione e trarre una conclusione corretta. Esercitarsi con la dimostrazione per assurdo contribuisce così a sviluppare capacità di ragionamento, precisione e consapevolezza dei principali procedimenti della matematica.
- Guarda anche: Come funzionano le dimostrazioni per assurdo su You Math
