Il problema del tre è un procedimento matematico utilizzato per trovare un valore incognito quando alcune grandezze sono legate tra loro da una relazione di proporzionalità.
Prima di eseguire i calcoli è quindi fondamentale capire come variano le grandezze coinvolte: quando una aumenta, l’altra aumenta oppure diminuisce?
In base al numero delle grandezze considerate possiamo distinguere:
- problema del tre semplice, che coinvolge due grandezze;
- problema del tre composto, che coinvolge più di due grandezze.
Il problema del tre semplice può essere a sua volta diretto oppure inverso.
- Guarda anche: Estrazione di radice e numeri reali
Che cos’è il problema del tre semplice?
Il problema del tre semplice mette in relazione due grandezze e fornisce tre valori noti attraverso i quali possiamo determinare un quarto valore incognito.
Per esempio:
4 kg di arance costano 12 €. Quanto costano 7 kg?
Le grandezze sono due: chilogrammi ↔ prezzo
Conosciamo tre valori: 4 kg – 12 € – 7 kg e dobbiamo trovare il quarto: x € Prima di effettuare il calcolo dobbiamo stabilire se le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali.
Problema del tre semplice diretto
Il problema del tre semplice diretto riguarda due grandezze direttamente proporzionali.
Ciò significa che, mantenendo costante il rapporto tra esse:
- se una aumenta, aumenta anche l’altra;
- se una diminuisce, diminuisce anche l’altra.
Possiamo ricordarlo schematicamente come: ↑ ↑ oppure ↓ ↓
Esempio
4 kg di arance costano 12 €. Quanto costano 7 kg?
Più chilogrammi acquistiamo → maggiore sarà la spesa. Siamo quindi davanti a una proporzionalità diretta.
Organizziamo i dati:
| Chilogrammi | Prezzo |
|---|---|
| 4 | 12 € |
| 7 | x |
Impostiamo la proporzione: 4 : 7 = 12 : x
Applichiamo la proprietà fondamentale: 4x = 7 × 12 → 4x = 84
quindi: x = 84 : 4 → x = 21 € Risposta: 7 kg di arance costano 21 €.
Metodo del valore unitario
Lo stesso problema può essere risolto con un procedimento particolarmente intuitivo.
- Se 4 kg costano 12 €, troviamo prima il prezzo di 1 kg: 12 : 4 = 3 €
- Poi moltiplichiamo per 7: 3 × 7 = 21 €
Questo metodo aiuta a comprendere perché la proporzione funziona e spesso rende più semplice l’impostazione del problema.
Problema del tre semplice inverso
Nel problema del tre semplice inverso le due grandezze sono invece inversamente proporzionali.
Significa che: se una aumenta, l’altra diminuisce; se una diminuisce, l’altra aumenta.
Possiamo rappresentarlo così: ↑ ↓ oppure ↓ ↑
Esempio
4 operai completano un lavoro in 12 giorni. In quanti giorni lo completerebbero 6 operai, lavorando allo stesso ritmo?
Le grandezze sono: numero di operai ↔ giorni
Ragioniamo prima di effettuare qualsiasi calcolo. Aumentano gli operai: 4 → 6 Di conseguenza diminuisce il tempo necessario.
Quindi: più operai → meno giorni. Si tratta di una proporzionalità inversa.
| Operai | Giorni |
|---|---|
| 4 | 12 |
| 6 | x |
Nella proporzionalità inversa il prodotto delle grandezze corrispondenti rimane costante: 4 × 12 = 6 × x
48 = 6x
quindi:
- x = 48 : 6
- x = 8 giorni
Risposta: 6 operai impiegano 8 giorni.
Come capire se il problema è diretto o inverso
Questo è probabilmente il passaggio più importante di tutto il procedimento.
Prima di costruire una proporzione conviene formulare mentalmente una frase del tipo:
“Se aumenta questa grandezza, cosa succede all’altra?”
- Se abbiamo: più → più la relazione è diretta.
- Se abbiamo: più → meno la relazione è inversa.
Per esempio:
| Grandezze | Relazione |
|---|---|
| quantità acquistata ↔ prezzo | Diretta |
| ore lavorate ↔ compenso | Diretta |
| litri di carburante ↔ distanza percorsa, a consumo costante | Diretta |
| operai ↔ tempo per lo stesso lavoro | Inversa |
| velocità ↔ tempo per la stessa distanza | Inversa |
Naturalmente bisogna sempre verificare che il testo del problema presupponga effettivamente una relazione proporzionale.
Il trucco del raddoppio
Un metodo didattico molto efficace consiste nell’immaginare di raddoppiare una delle grandezze.
Caso diretto
- Se 2 kg costano 10 €, allora 4 kg costeranno 20 €. Raddoppia la quantità → raddoppia il prezzo.
Quindi: DIRETTA
Caso inverso
- Se 4 operai impiegano 10 giorni, raddoppiando gli operai a 8, a parità di produttività, occorrerà metà del tempo: 5 giorni. Raddoppiano gli operai → si dimezzano i giorni.
Quindi: INVERSA
Che cos’è il problema del tre composto?
Il problema del tre composto rappresenta un passo successivo.
- Nel problema semplice abbiamo due grandezze.
- Nel problema composto intervengono invece tre o più grandezze.
Consideriamo questo esempio:
4 operai, lavorando 6 ore al giorno, completano un lavoro in 10 giorni. In quanti giorni lo completeranno 5 operai lavorando 8 ore al giorno, supponendo uguale produttività?
- Le grandezze sono tre: operai – ore giornaliere – giorni
- Dobbiamo trovare: x = numero di giorni
Come risolvere un problema del tre composto
Il modo più sicuro consiste nell’individuare innanzitutto la grandezza contenente l’incognita. Nel nostro esempio è: giorni. Ora confrontiamo separatamente ciascuna delle altre grandezze con i giorni.
1. Operai e giorni
- Passiamo: 4 operai → 5 operai
- Se aumentano gli operai, diminuiscono i giorni necessari.
Quindi:
- operai ↔ giorni = relazione inversa
2. Ore giornaliere e giorni
- Passiamo: 6 ore → 8 ore al giorno
- Se ogni operaio lavora più ore ogni giorno, diminuisce il numero di giorni necessario.
Quindi:
- ore giornaliere ↔ giorni = relazione inversa
Abbiamo pertanto:
- operai ↑ → giorni ↓
e:
- ore giornaliere ↑ → giorni ↓
Calcolo del problema del tre composto
Partiamo dai 10 giorni iniziali. L’aumento degli operai da 4 a 5 produce il fattore inverso: 4/5
L’aumento delle ore giornaliere da 6 a 8 produce anch’esso il fattore inverso: 6/8
- Quindi: x = 10 × 4/5 × 6/8
Calcoliamo:
- x = 10 × 24/40
- x = 10 × 3/5
- x = 6
Risposta: saranno necessari 6 giorni.
Perché utilizziamo 4/5 e 6/8?
Questo passaggio è fondamentale. Gli operai aumentano da 4 a 5. Poiché più operai significano meno giorni, dobbiamo applicare ai giorni il rapporto inverso: 4/5
Lo stesso accade con le ore: passiamo da 6 a 8 ore giornaliere. Più ore al giorno significano meno giorni, quindi utilizziamo: 6/8
In altre parole, quando confrontiamo una grandezza con quella contenente l’incognita dobbiamo stabilire se la relazione è diretta oppure inversa.
- Guarda anche: Problema del 3 su You Math
Un problema composto può contenere relazioni diverse
Non è necessario che tutte le grandezze abbiano lo stesso tipo di relazione. In un problema composto una grandezza può essere direttamente proporzionale all’incognita e un’altra inversamente proporzionale.
Per questo motivo non bisogna cercare di classificare frettolosamente l’intero problema come “diretto” o “inverso”. Bisogna invece confrontare una grandezza alla volta con quella che contiene l’incognita.
- Questo è il principio fondamentale del problema del tre composto.
Metodo pratico per il problema del tre composto
Possiamo utilizzare questa procedura:
1. Costruire una tabella
Mettiamo in colonna le diverse grandezze.
2. Individuare l’incognita
Stabiliamo quale grandezza contiene x.
3. Confrontare le grandezze una alla volta
Chiediamoci:
Se questa aumenta, l’incognita aumenta oppure diminuisce?
4. Stabilire se ogni relazione è diretta o inversa
- ↑ ↑ = diretta
- ↑ ↓ = inversa
5. Costruire i rapporti
Manteniamo il rapporto nel verso opportuno per le relazioni dirette e lo invertiamo quando la relazione con l’incognita è inversa.
6. Eseguire il calcolo
Solo a questo punto procediamo con moltiplicazioni, divisioni e semplificazioni.
Problema del tre semplice e composto: differenze
| Caratteristica | Tre semplice | Tre composto |
|---|---|---|
| Grandezze coinvolte | 2 | 3 o più |
| Incognita | una | una |
| Relazioni | diretta oppure inversa | possono essere dirette e/o inverse |
| Difficoltà | minore | maggiore |
| Passaggio fondamentale | capire diretto/inverso | confrontare ogni grandezza con l’incognita |
Gli errori più comuni
Uno degli errori più frequenti consiste nell’applicare immediatamente una formula senza aver prima compreso il significato delle grandezze. Davanti a un problema del tre è invece utile procedere in quest’ordine:
comprendere il testo → individuare le grandezze → trovare l’incognita → stabilire le relazioni → impostare il calcolo.
Nel problema composto è particolarmente importante non confrontare contemporaneamente tutte le grandezze. Conviene prenderle una alla volta e confrontarle sempre con la grandezza che contiene l’incognita.
In sintesi
Il problema del tre semplice coinvolge due grandezze e può essere:
- diretto, quando le grandezze variano nello stesso senso;
- inverso, quando variano in senso opposto.
- Il problema del tre composto coinvolge invece almeno tre grandezze. Per risolverlo bisogna individuare l’incognita e stabilire separatamente se ciascuna delle altre grandezze è direttamente o inversamente proporzionale ad essa.
La domanda più importante rimane sempre:
- “Se modifico questa grandezza, cosa deve succedere alla grandezza che sto cercando?”
Comprendere questa relazione permette di impostare correttamente il problema senza affidarsi esclusivamente a formule imparate a memoria.
