La dimostrazione per assurdo, chiamata anche ragionamento per assurdo, è un metodo logico utilizzato in matematica per dimostrare la verità di una determinata affermazione. Il procedimento consiste nel supporre temporaneamente vera la negazione della tesi che si vuole dimostrare e nel svilupparne le conseguenze logiche. Se questa ipotesi conduce a una contraddizione, a un risultato impossibile o incompatibile con le condizioni di partenza, allora deve essere respinta e la tesi originaria risulta vera. Il metodo per assurdo è uno degli strumenti fondamentali del ragionamento matematico e permette di affrontare dimostrazioni e problemi nei quali una verifica diretta può risultare difficile, sviluppando nello stesso tempo capacità di analisi, deduzione e ragionamento logico.
La dimostrazione per assurdo è dunque un metodo di ragionamento che consiste nel supporre vera la negazione della tesi che si vuole dimostrare e nel mostrare che tale ipotesi conduce a una contraddizione. Di conseguenza, l’ipotesi viene respinta e la tesi iniziale risulta vera.
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Ragionamento per assurdo: cos’è e come funziona
Il ragionamento per assurdo, chiamato anche dimostrazione per assurdo o reductio ad absurdum, è un procedimento logico utilizzato in matematica per dimostrare che una determinata affermazione è vera. Il metodo consiste nel supporre temporaneamente falsa la tesi che vogliamo dimostrare, assumendo quindi come vera la sua negazione, e sviluppare logicamente le conseguenze di questa ipotesi. Se il ragionamento conduce a una contraddizione, significa che l’ipotesi formulata non può essere vera e, di conseguenza, deve essere accettata la tesi iniziale.
Come funziona la dimostrazione per assurdo
La struttura fondamentale del ragionamento per assurdo può essere sintetizzata in alcuni passaggi:
- Individuiamo la tesi che vogliamo dimostrare.
- Supponiamo che la tesi sia falsa, assumendo temporaneamente come vera la sua negazione.
- Sviluppiamo le conseguenze logiche derivanti da questa ipotesi.
- Arriviamo a una contraddizione, cioè a una conclusione incompatibile con i dati iniziali, con una proprietà già dimostrata oppure con la stessa ipotesi.
- Concludiamo che l’ipotesi formulata deve essere falsa.
- Di conseguenza, la tesi iniziale è vera.
Lo schema logico può essere rappresentato in questo modo:
Tesi da dimostrare → nego la tesi → sviluppo le conseguenze → ottengo una contraddizione → la negazione è falsa → la tesi è vera.
Perché si chiama ragionamento “per assurdo”
La parola assurdo non significa semplicemente che formuliamo un’ipotesi improbabile o che scegliamo volontariamente un valore sbagliato. In questo contesto indica una contraddizione logica.
Questo aspetto è importante per non confondere la dimostrazione per assurdo con altri procedimenti matematici, come il metodo della falsa posizione. Nella falsa posizione si introduce un’ipotesi provvisoria per confrontare il risultato ottenuto con quello reale e correggere successivamente il valore. Nel ragionamento per assurdo, invece, si assume la negazione della tesi proprio allo scopo di dimostrare che conduce a una contraddizione.
Un semplice esempio di ragionamento per assurdo
Consideriamo un’affermazione molto semplice:
Tesi: non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri numeri naturali.
Supponiamo per assurdo che questa affermazione sia falsa.
Dovrebbe quindi esistere un numero naturale N che sia il più grande di tutti.
Ma possiamo considerare il numero:
N + 1
Questo è ancora un numero naturale ed è necessariamente maggiore di N.
Otteniamo quindi una contraddizione: avevamo supposto che N fosse il più grande numero naturale, ma abbiamo appena costruito un numero naturale più grande di N.
La nostra ipotesi è dunque falsa.
Possiamo concludere che non esiste un numero naturale più grande di tutti gli altri.
Un celebre esempio: l’irrazionalità di √2
Uno degli esempi più conosciuti di dimostrazione per assurdo riguarda la radice quadrata di 2.
Vogliamo dimostrare che √2 è un numero irrazionale.
Supponiamo per assurdo il contrario, cioè che √2 sia razionale. In questo caso potrebbe essere scritto come una frazione:
√2 = a/b
dove a e b sono numeri interi e la frazione è ridotta ai minimi termini.
Elevando al quadrato:
2 = a²/b²
da cui:
a² = 2b²
Ne consegue che a² è pari e quindi anche a è pari. Possiamo allora scrivere:
a = 2k
Sostituendo:
(2k)² = 2b²
4k² = 2b²
e quindi:
b² = 2k²
Anche b² è pari e pertanto b è pari.
Abbiamo però ottenuto una contraddizione: a e b sono entrambi pari e quindi hanno almeno 2 come divisore comune, mentre avevamo supposto che la frazione a/b fosse ridotta ai minimi termini.
L’ipotesi iniziale è quindi falsa e possiamo concludere che:
√2 è irrazionale.
Ragionamento per assurdo e metodo della falsa posizione: la differenza
I due procedimenti possono sembrare simili perché entrambi iniziano formulando un’ipotesi, ma hanno finalità differenti.
Nel metodo della falsa posizione si sceglie un valore o una situazione provvisoria, spesso volutamente semplificata, per calcolare uno scarto e arrivare progressivamente alla soluzione.
Nel ragionamento per assurdo, invece, non scegliamo semplicemente un’ipotesi qualsiasi: assumiamo la negazione della tesi che vogliamo dimostrare. Se questa conduce inevitabilmente a una contraddizione, possiamo concludere che la tesi originaria è vera.
Per esempio, affermare «ipotizziamo che tutti i 20 francobolli costino 120 lire» in un problema con francobolli da 120 e 200 lire non costituisce un ragionamento per assurdo. È una falsa posizione, perché l’ipotesi serve come punto di partenza per calcolare una differenza.
A cosa serve il ragionamento per assurdo
La dimostrazione per assurdo in matematica è particolarmente utile quando dimostrare direttamente una proposizione risulta difficile, mentre è più semplice analizzare cosa accadrebbe se essa fosse falsa. Il metodo viene utilizzato in diversi settori della matematica, tra cui aritmetica, algebra, geometria e teoria dei numeri.
Oltre al suo valore matematico, questo procedimento aiuta a sviluppare importanti capacità di ragionamento logico: insegna a distinguere un’ipotesi da una conclusione, a seguire le conseguenze di un’affermazione e soprattutto a riconoscere una contraddizione.
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Conclusione
Comprendere cos’è il ragionamento per assurdo e come funziona significa acquisire uno degli strumenti fondamentali della logica matematica. La sua caratteristica essenziale non consiste semplicemente nel formulare un’ipotesi che potrebbe essere sbagliata, ma nel negare temporaneamente la tesi da dimostrare e mostrare che questa negazione conduce necessariamente a una contraddizione. Imparare a riconoscere e costruire correttamente una dimostrazione per assurdo permette di affrontare numerosi problemi matematici con maggiore consapevolezza e rappresenta un importante passo verso lo studio delle dimostrazioni formali e della matematica più avanzata.
