I problemi risolti col metodo della falsa posizione permettono di affrontare alcune situazioni matematiche partendo da un’ipotesi iniziale semplificata, anche se sappiamo che potrebbe non corrispondere alla soluzione reale. Si assume provvisoriamente un determinato valore o una determinata condizione, si calcola il risultato ottenuto e lo si confronta con i dati forniti dal problema. Dalla differenza tra il risultato ipotizzato e quello reale è quindi possibile correggere l’ipotesi iniziale e arrivare alla soluzione. Il metodo della falsa posizione, chiamato anche procedimento per ipotesi, è particolarmente utile nei problemi con quantità di diverso valore, prezzi, oggetti, animali o altre grandezze e rappresenta un efficace esercizio di ragionamento logico e problem solving matematico, spesso utilizzabile anche senza ricorrere direttamente alle equazioni.
- Guarda anche: Cosa è la dimostrazione o il ragionamento per assurdo
PROBLEMA 1
GiovannI spende L.3040 per acquistare 20 francobolli, alcuni da L.120 e altri da L.200. Quanti sono i francobolli da 120 lire e quanti quelli da 200 lire?
Risoluzione
Per risolvere il problema con il metodo della falsa posizione, formuliamo inizialmente un’ipotesi semplificata: supponiamo che tutti i 20 francobolli acquistati da Giovanni costino 120 lire ciascuno.
Questa ipotesi non viene considerata vera, ma rappresenta una situazione di partenza utile per confrontare la spesa ipotetica con quella realmente sostenuta.
Se tutti i 20 francobolli costassero 120 lire, Giovanni spenderebbe:
20 × 120 = 2.400 lire
La spesa reale, però, è di 3.040 lire. Calcoliamo quindi la differenza:
3.040 − 2.400 = 640 lire
La differenza di 640 lire è dovuta alla presenza dei francobolli da 200 lire. Infatti, ogni francobollo da 200 lire costa 80 lire in più rispetto a uno da 120 lire:
200 − 120 = 80 lire
Dobbiamo quindi stabilire quanti aumenti di 80 lire sono necessari per ottenere complessivamente le 640 lire mancanti:
640 : 80 = 8
Ci sono dunque 8 francobolli da 200 lire.
Poiché i francobolli acquistati sono complessivamente 20, quelli da 120 lire sono:
20 − 8 = 12
Risposta
Giovanni ha acquistato 12 francobolli da 120 lire e 8 francobolli da 200 lire.
Verifica
(12 × 120) + (8 × 200) = 1.440 + 1.600 = 3.040 lire
Il risultato coincide con la spesa indicata nel problema, quindi la soluzione è corretta.
PROBLEMA 2
Un ragazzo acquista in cartoleria 9 quaderni. Alcuni di essi costano L.400, altri L.500.
Sapendo che complessivamente il ragazzo ha speso L.4000, determina quanti quaderni costavano L.400 e quanti L.500.
Risoluzione
Per risolvere il problema con il metodo della falsa posizione, formuliamo un’ipotesi iniziale semplificata: supponiamo che tutti i 9 quaderni costino 400 lire ciascuno.
Se la nostra ipotesi fosse vera, il ragazzo avrebbe speso:
9 × 400 = 3.600 lire
Sappiamo però che la spesa reale è stata di 4.000 lire. Tra la spesa ipotizzata e quella reale c’è quindi una differenza di:
4.000 − 3.600 = 400 lire
Questa differenza è dovuta al fatto che alcuni quaderni, invece di costare 400 lire, costano 500 lire, cioè 100 lire in più:
500 − 400 = 100 lire
Dobbiamo quindi stabilire quanti quaderni da 400 lire devono essere sostituiti con quaderni da 500 lire affinché la spesa aumenti complessivamente di 400 lire:
400 : 100 = 4
Pertanto, 4 quaderni costano 500 lire.
Poiché i quaderni acquistati sono complessivamente 9, quelli da 400 lire sono:
9 − 4 = 5
Risposta
Il ragazzo ha acquistato 5 quaderni da 400 lire e 4 quaderni da 500 lire.
Verifica
(5 × 400) + (4 × 500) = 2.000 + 2.000 = 4.000 lire
Il risultato corrisponde alla spesa complessiva indicata nel problema.
PROBLEMA 3
Un signore spende L.19.800 per acquistare 14 bottiglie, alcune di vino, altre di acqua minerale, altre ancora di olio.
Le bottiglie di vino costano L.1500 l’una, quelle di acqua minerale L.600, quelle di olio L.3000. Sapendo che le bottiglie di olio sono 4, calcola il numero delle bottiglie di acqua minerale.
Risoluzione
Sappiamo che il signore acquista complessivamente 14 bottiglie e che 4 sono bottiglie di olio, ciascuna del costo di 3.000 lire.
Calcoliamo innanzitutto quanto ha speso per l’olio:
4 × 3.000 = 12.000 lire
Sottraiamo questa somma dalla spesa complessiva:
19.800 − 12.000 = 7.800 lire
Tolte le 4 bottiglie di olio, rimangono:
14 − 4 = 10 bottiglie
Queste 10 bottiglie sono quindi soltanto di vino o di acqua minerale e complessivamente sono costate 7.800 lire.
A questo punto possiamo applicare il metodo della falsa posizione.
Ipotizziamo che tutte le 10 bottiglie siano di acqua minerale, cioè quelle che hanno il prezzo più basso.
In questo caso la spesa sarebbe:
10 × 600 = 6.000 lire
La spesa reale per le 10 bottiglie è invece di 7.800 lire. La differenza è:
7.800 − 6.000 = 1.800 lire
Ogni volta che sostituiamo una bottiglia di acqua minerale da 600 lire con una bottiglia di vino da 1.500 lire, la spesa aumenta di:
1.500 − 600 = 900 lire
Per ottenere un aumento complessivo di 1.800 lire sono quindi necessarie:
1.800 : 900 = 2 bottiglie di vino
Le restanti bottiglie sono di acqua minerale:
10 − 2 = 8 bottiglie di acqua minerale
Risposta
Il signore ha acquistato 8 bottiglie di acqua minerale.
Complessivamente ha acquistato:
- 8 bottiglie di acqua minerale
- 2 bottiglie di vino
- 4 bottiglie di olio
Verifica
(8 × 600) + (2 × 1.500) + (4 × 3.000)
4.800 + 3.000 + 12.000 = 19.800 lire
Il risultato coincide con la spesa complessiva indicata nel problema.
PROBLEMA 4
Una famiglia di 5 persone (genitori e 3 bambini) spende L.10.400 per andare al cinema. Il biglietto di ingresso costa L.700 in meno di quello per un adulto. Calcola il prezzo del biglietto intero e del biglietto ridotto.
Risoluzione
La famiglia è composta da 2 adulti e 3 bambini, per un totale di 5 persone.
Sappiamo che il biglietto ridotto per un bambino costa 700 lire in meno rispetto al biglietto intero per un adulto.
Per applicare il metodo della falsa posizione, ipotizziamo inizialmente che tutte e 5 le persone paghino il prezzo del biglietto intero.
Questa ipotesi comporterebbe però una spesa superiore a quella reale, perché sappiamo che ciascuno dei 3 bambini paga 700 lire in meno.
Calcoliamo quindi quanto avremmo speso in più:
3 × 700 = 2.100 lire
Aggiungiamo questa differenza alla spesa reale:
10.400 + 2.100 = 12.500 lire
Se tutte e 5 le persone avessero pagato il biglietto intero, la famiglia avrebbe quindi speso 12.500 lire.
Possiamo ora determinare il prezzo di un biglietto intero:
12.500 : 5 = 2.500 lire
Il biglietto intero costa quindi 2.500 lire.
Poiché il biglietto ridotto costa 700 lire in meno:
2.500 − 700 = 1.800 lire
Il biglietto ridotto costa quindi 1.800 lire.
Risposta
- Biglietto intero: 2.500 lire
- Biglietto ridotto: 1.800 lire
Verifica
I 2 adulti spendono:
2 × 2.500 = 5.000 lire
I 3 bambini spendono:
3 × 1.800 = 5.400 lire
Complessivamente:
5.000 + 5.400 = 10.400 lire
Il risultato coincide con la spesa indicata nel problema.
PROBLEMA 5
Francesco acquista 5 matite e 9 quaderni, spendendo complessivamente L.7400. Sapendo che il prezzo di un quaderno è di L.200 superiore a quello di una matita, calcola quanto costa una matita e quanto costa un quaderno.
Risoluzione
Francesco acquista 5 matite e 9 quaderni, spendendo complessivamente 7.400 lire.
Sappiamo che ogni quaderno costa 200 lire in più rispetto a una matita.
Per applicare il metodo della falsa posizione, ipotizziamo che anche i 9 quaderni abbiano lo stesso prezzo delle matite.
In questa situazione ipotetica avremmo quindi:
5 + 9 = 14 oggetti dello stesso prezzo
La spesa ipotetica sarebbe però inferiore a quella reale, perché abbiamo eliminato le 200 lire in più che vengono pagate per ciascuno dei 9 quaderni.
Calcoliamo quindi questa differenza complessiva:
9 × 200 = 1.800 lire
Sottraiamo questa differenza dalla spesa reale:
7.400 − 1.800 = 5.600 lire
Le 5.600 lire rappresentano quanto Francesco spenderebbe se tutti i 14 oggetti costassero quanto una matita.
Possiamo quindi trovare il prezzo di una matita:
5.600 : 14 = 400 lire
Una matita costa dunque 400 lire.
Poiché un quaderno costa 200 lire in più:
400 + 200 = 600 lire
Un quaderno costa quindi 600 lire.
Risposta
- Una matita costa 400 lire.
- Un quaderno costa 600 lire.
Verifica
Per le 5 matite Francesco spende:
5 × 400 = 2.000 lire
Per i 9 quaderni spende:
9 × 600 = 5.400 lire
Complessivamente:
2.000 + 5.400 = 7.400 lire
Il risultato coincide con la spesa indicata nel problema.
Problemi che potrebbero essere risolti
sia col metodo della falsa posizione
che utilizzando le equazioni
PROBLEMA 6
Un padre va allo stadio con uno dei suoi tre bambini per assistere ad una partita di calcio. La domenica successiva egli ritorna allo stadio portando con se tutti e tre i figli. Sapendo che la prima volta egli ha speso L.8000 e la seconda L.14.000, calcola il costo di un biglietto di ingresso per un adulto e per un bambino.
Nel Problema 6, confrontiamo direttamente le due spese. La seconda volta il padre porta due bambini in più rispetto alla prima volta, e la spesa aumenta di:
14.000 − 8.000 = 6.000 lire
Queste 6.000 lire corrispondono al costo dei biglietti di 2 bambini:
6.000 : 2 = 3.000 lire
Quindi un biglietto per bambino costa 3.000 lire.
La prima volta padre e un bambino spendono 8.000 lire:
8.000 − 3.000 = 5.000 lire
Il biglietto per adulto costa quindi 5.000 lire.
PROBLEMA 7
Una comitiva di 18 amici parte per una gita. Alcuni vanno in automobile, altri in motocicletta. Ogni automobile trasporta 4 persone e ogni motocicletta ne trasporta 2. In tutto, fra automobili e motociclette, sono disponibili 6 veicoli. Sapendo che non rimangono posti vuoti nè sulle auto nè sulle moto, calcola quante sono le automobili e quante le motociclette che trasportano i gitanti.
Nel Problema 7, invece, la falsa posizione funziona benissimo. Possiamo ipotizzare che tutti i 6 veicoli siano motociclette. In questo caso trasporterebbero:
6 × 2 = 12 persone
Ma gli amici sono 18, quindi mancano:
18 − 12 = 6 posti
Ogni volta che sostituiamo una motocicletta con un’automobile, aumentiamo la capacità di:
4 − 2 = 2 posti
Per ottenere 6 posti in più servono:
6 : 2 = 3 automobili
Gli altri veicoli sono quindi:
6 − 3 = 3 motociclette
Risposta: 3 automobili e 3 motociclette.
PROBLEMA 8
In un salvadanaio vi sono L.2250 in monete da L.50 e da L.100. Sapendo che il numero delle monete da 50 Lire è uguale a quello delle monete da L.100, calcola quante monete vi sono complessivamente nel salvadanaio
Nel Problema 8, invece, il dato decisivo è che il numero delle monete da 50 lire è uguale al numero delle monete da 100 lire. Possiamo quindi raggruppare le monete a coppie: una da 50 lire e una da 100 lire.
Ogni coppia vale:
50 + 100 = 150 lire
Il numero delle coppie è:
2.250 : 150 = 15 coppie
Ogni coppia contiene 2 monete:
15 × 2 = 30 monete
Risposta: nel salvadanaio ci sono 30 monete complessivamente, cioè 15 da 50 lire e 15 da 100 lire.
Il metodo della falsa posizione è una strategia semplice ed efficace per risolvere numerosi problemi di matematica senza ricorrere immediatamente alle equazioni. Il procedimento consiste nel formulare un’ipotesi iniziale semplificata, calcolarne le conseguenze e confrontare il risultato ottenuto con i dati reali del problema. La differenza permette quindi di correggere l’ipotesi e determinare i valori cercati. Esercitarsi con i problemi risolti col metodo della falsa posizione aiuta a sviluppare il ragionamento logico, a comprendere meglio le relazioni tra quantità e differenze e a costruire una solida preparazione per affrontare successivamente problemi algebrici più complessi.
