Divisioni con la virgola

Le divisioni con la virgola, dette anche divisioni con i numeri decimali, mettono solitamente in difficoltà gli studenti perchè richiedono delle procedure di calcolo più complesse rispetto alle divisioni con numeri senza la virgola, dette queste ultime divisioni con i numeri interi.

Divisioni con la virgola

La divisione in colonna con i numeri decimali, cioè con i numeri con la virgola, segue gli stessi principi della divisione tra numeri naturali, ma richiede alcune regole specifiche per gestire correttamente la parte decimale. Il procedimento cambia a seconda che la virgola sia presente nel dividendo, nel divisore oppure in entrambi: in alcuni casi è sufficiente riportare la virgola nel quoziente, mentre quando il divisore è decimale occorre trasformarlo in un numero intero spostando la virgola dello stesso numero di posti sia nel divisore sia nel dividendo. Imparare come eseguire le divisioni in colonna con la virgola permette di affrontare correttamente calcoli con numeri decimali, comprendendo anche quando aggiungere degli zeri e come proseguire la divisione oltre la parte intera.

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A seguire le tre casistiche che si possono incontrare nel dover svolgere delle operazioni di divisione con numeri con la virgola.

Casi:

1. Numero con la virgola al dividendo;
2. Numero con la virgola al divisore;
3. Numero con la virgola al dividendo e al divisore.

Virgola al dividendo

• Esempio: risolvere la divisione 34,3:3

Procedura di svolgimento:

1. Spostare la virgola del dividendo verso destra, tante volte quante sono le cifre che stanno a destra della stessa. Quindi: 34,3 →343
2. Aggiungere al divisore tanti zeri quante volte sono le volte in cui è stata spostata verso destra la virgola del dividendo. Quindi 3 →30
3. Svolgere la divisione dei numeri ottenuti: 343:30. Il risultato ottenuto sarà lo stesso della divisione 34,3:3

Virgola al divisore

• Esempio: risolvere la divisione 343: 3,3

Procedura di svolgimento:

1. Togliere la virgola del divisore
2. Aggiungere tanti zeri al dividendo quante erano le cifre del divisore oltre la virgola
3. Procedere alla divisione delle cifre ottenute (3430:33), il cui risultato è identico alla divisione 343:3,3

• Esempio: risolvere la divisione 127: 34,72

– Questa divisione con il numero con la virgola al divisore, ha la particolarità di avere complessivamente più cifre rispetto al divisore –

Procedura di svolgimento:

1. Spostare la virgola del numero del divisore, tante volte quante sono le cifre dopo la stessa. Quindi: 34,72 → 3472;
2. Aggiungere tanti zeri al dividendo, quante sono le cifre del divisore che stanno oltre la virgola. Quindi: 127 →12700
3. Svolgere la divisione: 12700:3472, il cui risultato equivale alla divisione 127:34,34

Virgola al dividendo e al divisore

• Esempio: risolvere la divisione 57,57: 4,3

In questo caso decide la virgola al divisore perchè non si può eseguire una divisione con la virgola al divisore, dobbiamo applicare la proprietà invariantiva, quella che dice che “se dividiamo o moltiplichiamo entrambi i termini della divisione (dividendo e divisore) per uno stesso numero, il quoziente o il quoto non cambiano”.

1. Togliere la virgola del divisore moltiplicandolo per 10 (in questo caso). Ovvero: 4,3×10 = 43
2. Spostare la virgola del dividendo moltiplicando anche questo numero per la medesima cifra (10) = 57,57×10 = 575,7
3. Calcolare quante volte il 43 sta nel 575, ovvero: 13 volte. Questa cifra la aggiungo dopo la virgola ed effettuo la moltiplicazione col 43
   A questo punto effettuo la sottrazione di 575 per 559 e ottengo 167
4. Aggiungo la virgola dopo il 13
5. Calcolo quante volte il 43 sta nel 167, ovvero: 3 volte. Questa cifra la aggiungo dopo la virgola ed effettuo la moltiplicazione col 43
6. A questo punto devo effettuare la sottrazione tra 167 e 129 e ottengo 38
7. Ora lavoro sui centesimi e vedendo che il 38 è più piccolo del 43 gli aggiungo uno 0 a destra e ottengo il 380. Calcolo ora quante volte il 43 sta nel 480. Ovvero: 8 volte

Si arriva così alla conclusione che 57,57:4,3 equivale, applicando la proprietà invariantiva a divisore per togliere la virgola, alla divisione 575,5:43

• Guarda anche: le divisioni con la virgola su YouMath

Dividere un dividendo con un divisore maggiore

Esercizio 1
Divisione in colonna: 37,21 : 44

• Dobbiamo calcolare: 37,21 : 44
• Poiché 37,21 è minore di 44, sappiamo già che il risultato della divisione sarà minore di 1.

1. Eliminiamo la virgola

Per eliminare la virgola dal dividendo 37,21, moltiplichiamo sia il dividendo sia il divisore per 100:

• 37,21 × 100 = 3721
• 44 × 100 = 4400

Otteniamo quindi la divisione equivalente:

• 3721 : 4400

2. Confrontiamo dividendo e divisore

• Il divisore 4400 è maggiore del dividendo 3721:
• 3721 < 4400
• Perciò 4400 non è contenuto neppure una volta intera in 3721.
• Scriviamo quindi 0 nel quoziente, seguito dalla virgola: 0,

3. Aggiungiamo uno zero al dividendo

Poiché vogliamo continuare la divisione dopo la virgola, aggiungiamo uno zero a 3721:

• 3721 → 37210
• Ora calcoliamo quante volte 4400 è contenuto in 37210.

È contenuto 8 volte, perché:

• 4400 × 8 = 35200

mentre:

• 4400 × 9 = 39600, che è troppo.

Scriviamo 8 nel quoziente:

• 0,8

Calcoliamo il resto:

• 37210 − 35200 = 2010

4. Aggiungiamo un altro zero

• Aggiungiamo uno zero al resto: 2010 → 20100
• Cerchiamo quante volte 4400 è contenuto in 20100.
• È contenuto 4 volte: 4400 × 4 = 17600
• Scriviamo 4 nel quoziente: 0,84
• Calcoliamo il nuovo resto: 20100 − 17600 = 2500

5. Continuiamo la divisione

• Aggiungiamo uno zero: 2500 → 25000
• 4400 è contenuto 5 volte in 25000:
• 4400 × 5 = 22000
• Il quoziente diventa: 0,845
• Resto: 25000 − 22000 = 3000

6. Calcoliamo un’altra cifra decimale

• Aggiungiamo uno zero: 3000 → 30000
• 4400 è contenuto 6 volte: 4400 × 6 = 26400
• Il quoziente diventa: 0,8456
• Resto: 30000 − 26400 = 3600
• La divisione può essere proseguita ulteriormente aggiungendo altri zeri al resto.

Risultato

• Possiamo quindi scrivere: 37,21 : 44 = 0,8456818…
• oppure, approssimando ai quattro decimali: 37,21 : 44 ≈ 0,8457

Regola da ricordare

• Quando il dividendo è minore del divisore, il quoziente è minore di 1 e comincia quindi con 0,.
• Per continuare la divisione, si aggiungono progressivamente degli zeri al resto, ottenendo così le cifre decimali del quoziente.

Esercizio 2
Divisione in colonna: 24,36 : 1,2

Quando mettere lo zero o la virgola nel quoziente di una divisione

Uno degli errori più comuni nelle divisioni in colonna consiste nel mettere la virgola nel quoziente appena il resto diventa più piccolo del divisore. In realtà, un resto minore del divisore non significa automaticamente che bisogna mettere la virgola.

Prima occorre controllare se nel dividendo ci sono ancora cifre da abbassare: se ci sono, si abbassa la cifra successiva e si continua normalmente la divisione. Se il nuovo numero ottenuto è ancora più piccolo del divisore, bisogna scrivere 0 nel quoziente e procedere con la cifra successiva.

La virgola nel quoziente si inserisce invece quando sono state utilizzate tutte le cifre della parte intera del dividendo e, per continuare la divisione, è necessario aggiungere uno zero al resto. In sintesi: prima si esauriscono le cifre del dividendo; solo dopo, se la divisione deve continuare, si passa alla parte decimale del quoziente.

Esercizio 3
Divisione in colonna: 2352 : 320

Impostiamo:

2352 │ 320

Prendiamo inizialmente 2352, perché 320 non può essere contenuto né in 2, né in 23, né in 235.

Calcoliamo quante volte 320 sta in 2352:

320 × 7 = 2240

mentre:

320 × 8 = 2560, che è troppo.

Quindi scriviamo 7 nel quoziente e sottraiamo:

 2352 │ 320
-2240 │ 7
──────
  112

Abbiamo esaurito tutte le cifre del dividendo e rimane 112, che è minore di 320. Se vogliamo continuare ottenendo un risultato decimale, mettiamo la virgola nel quoziente e aggiungiamo uno zero al resto:

112 → 1120

320 sta 3 volte in 1120:

320 × 3 = 960

 2352 │ 320
-2240 │ 7,3
──────
  1120
 - 960
──────
   160

Aggiungiamo un altro zero:

160 → 1600

320 sta esattamente 5 volte in 1600:

320 × 5 = 1600

Quindi:

2352 : 320 = 7,35

Esercizio 4
Divisione in colonna: 2436 : 120

Impostiamo:

2436 │ 120

120 sta 2 volte in 243:

120 × 2 = 240

Sottraiamo:

243 − 240 = 3

Ora dobbiamo ancora abbassare l’ultima cifra del dividendo, cioè 6:

3 → 36

Otteniamo quindi:

 2436 │ 120
-240  │ 20
────
   36

Ed ecco il passaggio fondamentale: 120 in 36 sta 0 volte. Poiché abbiamo abbassato una cifra del dividendo e il numero ottenuto è ancora più piccolo del divisore, dobbiamo scrivere 0 nel quoziente.

Per questo il quoziente intero non è 2, ma 20.

A questo punto abbiamo terminato le cifre intere del dividendo. Per continuare la divisione mettiamo la virgola dopo 20 e aggiungiamo uno zero:

36 → 360

120 sta 3 volte in 360:

120 × 3 = 360

Quindi:

2436 : 120 = 20,3

Confronto tra 2352 : 320 e 2436 : 120

La regola da ricordare

Il confronto tra questi due esempi chiarisce una regola fondamentale delle divisioni in colonna: lo zero nel quoziente si scrive quando, dopo aver abbassato una cifra del dividendo, il numero ottenuto è più piccolo del divisore.

La virgola, invece, si inserisce quando sono terminate tutte le cifre intere del dividendo e vogliamo proseguire la divisione aggiungendo degli zeri.

Per questo in 2436 : 120 compare lo zero nel quoziente e otteniamo 20,3, mentre in 2352 : 320 terminiamo subito le cifre del dividendo e passiamo direttamente alla parte decimale, ottenendo 7,35.

In 2352 : 320 il risultato 520,3 è corretto, mentre 2,3 sarebbe sbagliato. Perché?

Perché il 6 che abbiamo abbassato appartiene ancora alla parte intera del dividendo. Quando abbiamo ottenuto 36, abbiamo completato una posizione del quoziente corrispondente alle unità. Poiché 120 nel 36 sta 0 volte, quella posizione deve essere occupata da uno 0.

Quindi il passaggio concettualmente corretto è:

• 243 → 2
• 36 → 0
• 360 → 3 decimi

La regola che ti consiglio di fissare è questa:

Prima devi assegnare una cifra del quoziente a ogni cifra del dividendo che hai abbassato. Solo dopo aver completato l’ultima posizione intera puoi mettere la virgola.

È proprio questo dettaglio che distingue 2436 : 120 da 2352 : 320.

Esercizi sulle divisioni in colonna:
quando mettere lo zero o la virgola nel quoziente

Uno dei passaggi più insidiosi nelle divisioni in colonna consiste nel capire cosa fare quando il numero ottenuto è più piccolo del divisore. Non sempre, infatti, bisogna scrivere uno zero nel quoziente.

Se abbiamo appena abbassato una nuova cifra intera del dividendo e il numero ottenuto è ancora più piccolo del divisore, quella posizione deve essere occupata da 0 nel quoziente.

Se invece abbiamo già utilizzato tutte le cifre del dividendo e ci troviamo semplicemente con il resto finale, possiamo inserire la virgola nel quoziente e continuare la divisione aggiungendo uno zero al resto.

gGli esercizi seguenti servono proprio ad allenarsi a riconoscere questi due casi, evitando di confondere lo zero nel quoziente con il passaggio dalla parte intera alla parte decimale della divisione.

Dieci divisioni in ordine sparso, mescolando i due casi: in alcune dovrai inserire lo 0 nel quoziente, in altre dovrai passare alla virgola senza aggiungere uno 0 nella parte intera del quoziente.

• 2754 : 270
• 1728 : 240
• 3645 : 180
• 2184 : 320
• 4212 : 210
• 3618 : 180
• 5015 : 250
• 7214 : 360
• 1872 : 260
• 6036 : 300
• 2548 : 350
• 4824 : 240
• 3366 : 450

Divisioni con lo zero nel quoziente:
esercizi per evitare gli errori più comuni

Questi esercizi sulle divisioni permettono di allenarsi con uno dei passaggi che può creare maggiore confusione nella divisione in colonna, soprattutto quando si passa dalla parte intera a quella decimale. Quando le cifre del dividendo sono terminate e rimane un resto più piccolo del divisore, si inserisce la virgola nel quoziente e si aggiunge uno zero al resto per continuare il calcolo. A questo punto bisogna verificare quante volte il divisore è contenuto nel nuovo numero ottenuto: se è ancora più grande, occorre scrivere 0 nel quoziente prima di aggiungere un altro zero al resto. Gli esercizi proposti aiutano quindi a comprendere quando aggiungere uno zero al resto e quando scrivere uno zero nel quoziente, evitando uno degli errori più frequenti nelle divisioni con i numeri decimali.

• 127 : 20
• 146 : 40
• 218 : 50
• 326 : 80
• 417 : 60
• 524 : 80
• 638 : 90
• 725 : 40
• 834 : 60
• 946 : 80

Ecco le soluzioni:

• 127 : 20 = 6,35
• 146 : 40 = 3,65
• 218 : 50 = 4,36
• 326 : 80 = 4,075 ← attenzione allo 0
• 417 : 60 = 6,95
• 524 : 80 = 6,55
• 638 : 90 = 7,0888… ← attenzione allo 0
• 725 : 40 = 18,125
• 834 : 60 = 13,9
• 946 : 80 = 11,825

I due esercizi più interessanti per il problema che stiamo studiando sono 326 : 80 e 638 : 90, perché compare uno zero nel quoziente dopo la virgola.

Per esempio:

326 : 80

80 × 4 = 320 → resto 6
Hai esaurito le cifre → metti la virgola → 4,
Aggiungi uno zero: 6 → 60
Ma 80 nel 60 sta 0 volte → devi scrivere 0 → 4,0
Aggiungi un altro zero: 60 → 600
80 nel 600 sta 7 volte → 4,07
e proseguendo ottieni 4,075.

Questo è proprio il “tranello” che volevamo allenare.