L’equivalenza delle figure piane e il calcolo delle aree dei poligoni sono due concetti fondamentali della geometria. Due figure piane si definiscono equivalenti quando hanno la stessa area, anche se presentano forme e perimetri differenti. Comprendere questa proprietà permette non solo di confrontare le superfici, ma anche di capire l’origine delle formule utilizzate per calcolare l’area dei principali poligoni, come rettangolo, quadrato, parallelogramma, triangolo, rombo e trapezio. Attraverso la scomposizione e la ricomposizione delle figure è infatti possibile trasformare un poligono in un altro equivalente, mantenendo invariata la superficie. In questo modo le formule delle aree non vengono semplicemente memorizzate, ma possono essere comprese e ricavate attraverso il ragionamento geometrico.
- Guarda anche: Problemi di geometria sugli angoli
Equivalenza delle figure piane e calcolo delle aree dei poligoni
In geometria, conoscere il perimetro di una figura non è sufficiente per descriverne le dimensioni. È necessario introdurre anche il concetto di area, cioè la misura della superficie occupata da una figura piana. Due figure possono avere forme completamente diverse e, tuttavia, occupare la stessa quantità di superficie: in questo caso si definiscono figure equivalenti.
Lo studio dell’equivalenza permette di comprendere da dove derivano le formule utilizzate per calcolare l’area di rettangoli, quadrati, parallelogrammi, triangoli, rombi e trapezi. Molte formule geometriche, infatti, possono essere ricavate trasformando una figura in un’altra equivalente di cui conosciamo già l’area.
Che cosa sono le figure equivalenti
Due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa area, anche se possono avere forma e perimetro differenti.
Per esempio, un rettangolo lungo e stretto può avere la stessa area di un quadrato. Le due figure sono quindi equivalenti, anche se non sono congruenti.
È importante distinguere:
- Figure congruenti: hanno stessa forma e stesse dimensioni.
- Figure equivalenti: hanno la stessa area, ma non necessariamente la stessa forma.
Possiamo quindi scrivere:
- Figure equivalenti → stessa area
L’equivalenza riguarda pertanto la superficie e non il perimetro.
Le proprietà dell’equivalenza
Il principio dell’equivalenza permette di trasformare una figura geometrica in un’altra senza modificarne l’area.
Se una figura viene scomposta in più parti e queste vengono ricomposte senza sovrapposizioni e senza lasciare spazi, la nuova figura conserva la stessa area della figura originaria.
Questo principio è molto importante perché permette di comprendere l’origine di numerose formule geometriche.
Un parallelogramma, per esempio, può essere scomposto e ricomposto in modo da ottenere un rettangolo equivalente.
Il confronto tra superfici
Due superfici possono essere confrontate per stabilire quale sia la maggiore.
Possiamo avere:
A > B → la superficie A è maggiore della superficie B.
A < B → la superficie A è minore della superficie B.
A = B → le due superfici hanno la stessa area e sono quindi equivalenti.
Quando il semplice confronto visivo non è sufficiente, dobbiamo utilizzare un’unità di misura della superficie.
Che cos’è l’area di una superficie
L’area indica la misura dell’estensione di una superficie.
Per misurare una lunghezza utilizziamo unità come centimetri, metri o chilometri. Per misurare una superficie utilizziamo invece unità di misura quadrate.
L’unità fondamentale è il metro quadrato (m²).
- 1 m² rappresenta la superficie occupata da un quadrato con il lato lungo 1 metro.
Le principali unità di misura delle superfici sono:
| Unità | Simbolo |
|---|---|
| chilometro quadrato | km² |
| ettometro quadrato | hm² |
| decametro quadrato | dam² |
| metro quadrato | m² |
| decimetro quadrato | dm² |
| centimetro quadrato | cm² |
| millimetro quadrato | mm² |
Nelle equivalenze tra misure di superficie, passando da un’unità a quella immediatamente inferiore bisogna moltiplicare per 100.
Per esempio:
- 1 m² = 100 dm²
- 1 dm² = 100 cm²
Di conseguenza:
- 1 m² = 10.000 cm²
Area del rettangolo
Il rettangolo è un quadrilatero con quattro angoli retti. La sua area si calcola moltiplicando la misura della base per quella dell’altezza.
Formula:
A = b × h
dove:
- A = area;
- b = base;
- h = altezza.
Esempio
Se un rettangolo ha:
- b = 8 cm
- h = 5 cm
allora:
- A = 8 × 5 = 40 cm²
L’area del rettangolo è quindi 40 cm².
Area del quadrato
Il quadrato è un quadrilatero con quattro lati uguali e quattro angoli retti. Poiché base e altezza hanno la stessa misura, l’area si ottiene moltiplicando il lato per se stesso.
Formula:
- A = l × l
oppure:
- A = l²
dove l rappresenta il lato.
Esempio
Se:
- l = 6 cm
allora:
- A = 6 × 6 = 36 cm²
Area del parallelogramma
Il parallelogramma può essere trasformato in un rettangolo equivalente avente la stessa base e la stessa altezza. Per questo motivo la sua area si calcola esattamente come quella del rettangolo.
Formula:
- A = b × h
Esempio
Se:
- b = 9 cm
- h = 4 cm
otteniamo:
- A = 9 × 4 = 36 cm²
È importante ricordare che l’altezza non coincide necessariamente con il lato obliquo. L’altezza è infatti il segmento perpendicolare che rappresenta la distanza tra la base e il lato opposto.
Area del triangolo
L’area di un triangolo corrisponde alla metà dell’area di un parallelogramma avente la stessa base e la stessa altezza.
La formula è quindi:
- A = (b × h) / 2
oppure, usando i due punti:
- A = (b × h) : 2
Esempio
Con:
- b = 10 cm
- h = 6 cm
abbiamo:
- A = (10 × 6) : 2
- A = 60 : 2
- A = 30 cm²
Attenzione alla scelta dell’altezza
L’altezza deve essere sempre perpendicolare alla base scelta.
Ogni triangolo possiede tre possibili basi e tre rispettive altezze. Qualunque coppia base-altezza correttamente associata permette di ottenere la stessa area.
Area del rombo
Rombo e rettangolo
Il rombo è un quadrilatero caratterizzato da quattro lati della stessa lunghezza che può essere inscritto in un rettangolo di area doppia. Pertanto, la sua area può essere calcolata utilizzando la diagonale maggiore e la diagonale minore.
Formula:
- A = (D × d) / 2
oppure:
- A = (D × d) : 2
dove:
- D = diagonale maggiore;
- d = diagonale minore.
Esempio
Se:
- D = 12 cm
- d = 8 cm
otteniamo:
- A = (12 × 8) : 2
- A = 96 : 2
- A = 48 cm²
Rombo e parallelogramma
Poiché il rombo è anche un parallelogramma, conoscendo una base e la relativa altezza possiamo utilizzare anche:
- A = b × h
Area dei quadrilateri con diagonali perpendicolari
Se un quadrilatero ha realmente le due diagonali perpendicolari tra loro, l’area può essere calcolata con la seguente formula: A = (D × d) : 2
Questa formula vale sempre, indipendentemente dal fatto che sia un rombo, un deltoide o un quadrilatero irregolare. Il motivo è che le due diagonali perpendicolari dividono necessariamente il quadrilatero in quattro triangoli rettangoli che hanno rispettivamente area:
- A₁ = (a × b) : 2
- A₂ = (b × c) : 2
- A₃ = (c × e) : 2
- A₄ = (e × a) : 2
Sommando le loro aree si arriva sempre a:
- A = (D × d) : 2
Area del trapezio
Il trapezio è un quadrilatero che possiede una coppia di lati paralleli. I due lati paralleli vengono chiamati:
- B = base maggiore
- b = base minore
L’altezza h rappresenta invece la distanza perpendicolare tra le due basi.
La formula dell’area è: A = [(B + b) × h] / 2 oppure: A = [(B + b) × h] : 2
Questo perché due trapezi congruenti, opportunamente accostati, formano un parallelogramma di base B + b e altezza h. Per questo l’area di un trapezio è la metà di (B + b) × h.
Esempio
Supponiamo di avere:
- B = 12 cm
- b = 8 cm
- h = 5 cm
Prima sommiamo le basi:
- 12 + 8 = 20 cm
Poi moltiplichiamo per l’altezza:
- 20 × 5 = 100 cm²
Infine dividiamo per 2:
- 100 : 2 = 50 cm²
Quindi:
- A = 50 cm²
Formule delle aree dei principali poligoni
| Figura geometrica | Formula |
|---|---|
| Rettangolo | A = b × h |
| Quadrato | A = l² |
| Parallelogramma | A = b × h |
| Triangolo | A = (b × h) : 2 |
| Rombo | A = (D × d) : 2 |
| Trapezio | A = [(B + b) × h] : 2 |
Differenza tra perimetro e area
È molto importante non confondere perimetro e area. Il perimetro misura la lunghezza complessiva del contorno di una figura. Si esprime quindi con unità di lunghezza: mm, cm, m, km
- L’area, invece, misura la superficie racchiusa dal contorno e utilizza unità quadrate: mm², cm², m², km²
- Per esempio: Perimetro = 24 cm. Mentre: Area = 30 cm²
- Due figure equivalenti hanno la stessa area, ma non necessariamente lo stesso perimetro.
Come calcolare l’area di una figura composta
Non tutte le figure geometriche possono essere ricondotte immediatamente a un singolo quadrato, rettangolo, triangolo o trapezio. Una figura complessa può spesso essere scomposta in figure geometriche più semplici.
Si calcola quindi separatamente l’area di ciascuna parte:
- A₁ = area della prima figura
- A₂ = area della seconda figura
- A₃ = area della terza figura
e successivamente:
- A totale = A₁ + A₂ + A₃
Se invece una parte deve essere sottratta dalla figura principale:
- A totale = A maggiore − A parte sottratta
Questa tecnica è particolarmente utile nella risoluzione dei problemi di geometria.
Dall’equivalenza alle formule delle aree
Le formule delle aree non sono semplicemente regole da imparare a memoria. Molte di esse possono essere comprese attraverso il principio dell’equivalenza delle figure piane.
Un parallelogramma può essere trasformato in un rettangolo equivalente; due triangoli congruenti possono formare un parallelogramma; il rombo può essere suddiviso attraverso le sue diagonali; due trapezi congruenti possono essere accostati formando un parallelogramma.
Comprendere queste trasformazioni aiuta a capire perché le formule delle aree funzionano, rendendole più semplici da ricordare e soprattutto da utilizzare nella risoluzione degli esercizi e dei problemi di geometria.
- Guarda anche: Equivalenze tra figure su YouMath
