Le funzioni e le rappresentazioni grafiche sono concetti fondamentali della matematica perché permettono di descrivere in modo chiaro la relazione tra due grandezze. Una funzione associa a ogni valore della variabile indipendente x uno e un solo valore della variabile dipendente y. Questa relazione può essere espressa attraverso una formula, come y = f(x), oppure visualizzata mediante un grafico nel piano cartesiano. Imparare a leggere e costruire il grafico di una funzione consente quindi di comprendere immediatamente come varia y al variare di x e rappresenta una base essenziale per affrontare lo studio dell’algebra e, successivamente, dell’analisi matematica.
- Guarda anche: Estrazione di radice e numeri reali
Le funzioni matematiche sono uno dei concetti fondamentali della matematica. Permettono di descrivere una relazione tra due grandezze: quando cambia una grandezza, possiamo osservare o calcolare come cambia l’altra.
Le funzioni vengono utilizzate non soltanto in matematica, ma anche in geometria, fisica, economia, statistica e in moltissime situazioni della vita quotidiana.
Un semplice esempio è il rapporto tra quantità acquistata e prezzo: se un chilogrammo di mele costa 2 euro, conoscendo il numero di chilogrammi possiamo determinare il prezzo da pagare.
Corrispondenze tra due insiemi
Prima di comprendere che cos’è una funzione è utile introdurre il concetto di corrispondenza.
Corrispondenza: una corrispondenza stabilisce quali elementi di due insiemi sono messi in relazione tra loro secondo una certa regola.
Consideriamo due insiemi:
- A = {1, 2, 3}
- B = {2, 4, 6}
Possiamo stabilire la regola:
a ogni numero dell’insieme A associamo il suo doppio nell’insieme B.
Otteniamo:
- 1 → 2
- 2 → 4
- 3 → 6
Abbiamo quindi stabilito una corrispondenza tra gli elementi di due insiemi.
L’insieme dal quale partiamo viene chiamato insieme di partenza, mentre quello nel quale arriviamo è l’insieme di arrivo.
RELAZIONE: stabilisce un legame tra elementi di due insiemi.
CORRISPONDENZA UNIVOCA: a ogni elemento dell’insieme di partenza associa uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo.
Corrispondenza univoca
Una corrispondenza si dice univoca quando a ogni elemento dell’insieme di partenza viene associato uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo. Per esempio: A = {1, 2, 3}
Regola: moltiplica ogni numero per 3.
Avremo:
1 → 3
2 → 6
3 → 9
Ogni elemento di A possiede una sola immagine.
Questo concetto è fondamentale perché costituisce la base della definizione di funzione.
Relazione e corrispondenza univoca
La relazione scelta è «essere figlio di» e hai:
- Antonio → Paolo e Francesca
- Luigi → Anna e Ivo
- Claudia → Carlo e Franca
A ogni elemento dell’insieme di partenza (Antonio, Luigi, Claudia) corrisponde uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo, considerando ciascuna coppia di genitori come un unico elemento.
Corrispondenza plurivoca
Una corrispondenza plurivoca è una relazione tra due insiemi nella quale a uno stesso elemento dell’insieme di partenza possono corrispondere più elementi dell’insieme di arrivo. Per esempio, nella relazione «pratica lo sport», alla persona Antonio possono essere associati contemporaneamente calcio, nuoto e tennis. A differenza della corrispondenza univoca, quindi, un elemento di partenza non è necessariamente collegato a un solo elemento di arrivo. Per questo motivo, una corrispondenza plurivoca non è una funzione, poiché una funzione deve associare a ogni elemento del dominio uno e un solo valore.
La distinzione fondamentale
UNIVOCA:
un elemento di partenza → un solo elemento di arrivo
PLURIVOCA:
un elemento di partenza → più elementi di arrivo
Che cos’è una funzione
Una funzione è una particolare corrispondenza che associa a ogni elemento dell’insieme di partenza uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo.
Possiamo indicare una funzione con: f: A → B che si legge:
“f è una funzione da A a B”.
Se indichiamo un elemento dell’insieme A con x, il valore che gli viene associato può essere indicato con: f(x)
oppure, molto frequentemente: y = f(x)
Per esempio: y = 2x , ciò significa che il valore di y viene ottenuto moltiplicando x per 2.
| x | y = 2x |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
| 4 | 8 |
A ogni valore di x corrisponde un solo valore di y.
RELAZIONI / CORRISPONDENZE
- UNIVOCA → è una FUNZIONE
- BIUNIVOCA → è una FUNZIONE
- PLURIVOCA → NON è una FUNZIONE
Il punto fondamentale è che una funzione deve essere univoca: a ogni elemento dell’insieme di partenza deve corrispondere uno e un solo elemento dell’insieme di arrivo.
Una corrispondenza biunivoca è un caso particolare di funzione: oltre a essere univoca, stabilisce una corrispondenza uno a uno tra gli elementi dei due insiemi.
Una corrispondenza plurivoca, invece, non può essere una funzione perché almeno un elemento di partenza è associato a più elementi di arrivo.
Variabile indipendente e variabile dipendente
Nella funzione: y = 2x le due lettere hanno ruoli differenti.
La x viene generalmente chiamata variabile indipendente, perché scegliamo il suo valore.
La y viene chiamata variabile dipendente, perché il suo valore dipende da quello assegnato a x.
- Se: x = 3 allora: y = 2 × 3 = 6
- Se invece: x = 5 otteniamo: y = 2 × 5 = 10
Possiamo quindi immaginare la funzione come una specie di “macchina matematica”:
x → REGOLA → y . Per esempio: 3 → ×2 → 6
Dominio, codominio e immagine
Nello studio delle funzioni incontriamo tre concetti importanti.
- Il dominio è l’insieme dei valori che possono essere assegnati alla variabile indipendente x.
- Il codominio è l’insieme nel quale si trovano i possibili valori di arrivo della funzione.
- L’immagine della funzione è invece l’insieme dei valori che la funzione assume effettivamente.
Questa distinzione diventerà particolarmente importante nello studio delle funzioni alle scuole superiori.
Relazioni reciproche e corrispondenze biunivoche
Una corrispondenza è biunivoca quando:
- a ogni elemento di A corrisponde uno e un solo elemento di B;
- a ogni elemento di B corrisponde uno e un solo elemento di A.
Per esempio:
1 → 10
2 → 20
3 → 30
Se tutti gli elementi coinvolti hanno un unico corrispondente anche procedendo al contrario, la corrispondenza è biunivoca.
Le corrispondenze biunivoche sono particolarmente importanti perché permettono di considerare facilmente la funzione inversa.
La caratteristica particolare della biunivocità è che puoi anche tornare indietro in modo univoco. Ovvero:
- y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y)
- f(Mara) = Mini Cooper
- f⁻¹(Mini Cooper) = Mara
FUNZIONE
f: X → Y
y = f(x)FUNZIONE BIUNIVOCA
f: X ↔ Y
y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y)
Funzione inversa
Una funzione inversa permette, quando possibile, di percorrere al contrario la relazione stabilita dalla funzione originale.
- Consideriamo: y = 2x
- Se: x = 3 → y = 6, possiamo procedere al contrario: y = 6 → x = 3
- Poiché per ottenere y avevamo moltiplicato x per 2, per tornare indietro dobbiamo dividere per 2: x = y : 2
Il concetto di funzione inversa diventerà molto importante nello studio successivo della matematica.
Corrispondenza univoca e biunivoca
Una corrispondenza univoca non è automaticamente biunivoca. Può esserlo, ma deve rispettare condizioni aggiuntive.
La differenza fondamentale è questa:
UNIVOCA
Ogni elemento di X è associato a un solo elemento di Y.
- x → un solo y
Per esempio:
Persona → città di nascita
- Marco → Cagliari
- Anna → Cagliari
- Luca → Nuoro
È univoca, perché Marco non può avere due città di nascita. Ma non è biunivoca, perché allo stesso elemento di Y (Cagliari) arrivano due elementi di X (Marco e Anna).
BIUNIVOCA
Deve funzionare uno a uno anche nel senso inverso:
- x → un solo y
- y → un solo x
Per esempio:
- Marco → Armadietto 1
- Anna → Armadietto 2
- Luca → Armadietto 3
se ogni studente ha esattamente un armadietto e ogni armadietto è assegnato esattamente a uno studente.
In questo caso puoi andare in entrambe le direzioni senza ambiguità:
- Marco → Armadietto 1
- Armadietto 1 → Marco
Quindi:
Ogni corrispondenza biunivoca è univoca,
ma non ogni corrispondenza univoca è biunivoca.
Biunivoco è anche univoco, ma univoco non è sempre biunivoco
UNIVOCA → ma non biunivoca
- Persona → città di nascita
- Marco → Cagliari
- Anna → Cagliari
Ogni persona ha una sola città di nascita, ma nella stessa città possono essere nate più persone.
BIUNIVOCA → quindi anche univoca
- Persona → codice fiscale
- Marco → codice fiscale di Marco
Ogni persona ha un solo codice fiscale e ogni codice fiscale identifica una sola persona.
👉 Quindi: la biunivoca è sempre univoca; l’univoca diventa biunivoca solo quando anche a ogni y corrisponde un solo x.
In simboli:
- UNIVOCA: x → y
- BIUNIVOCA: x ↔ y
E matematicamente, nel caso biunivoco: y = f(x) ⇔ x = f⁻¹(y)
Differenza tra biunivocità e simmetria
La biunivocità e la simmetria sono concetti diversi.
Una corrispondenza è biunivoca quando a ogni elemento di un insieme X corrisponde uno e un solo elemento di Y e, viceversa, ogni elemento di Y corrisponde a uno e un solo elemento di X.
La simmetria, invece, riguarda il verso di una relazione: una relazione è simmetrica quando, se A è in relazione con B, allora anche B è in relazione con A secondo la stessa relazione.
Per esempio, “essere fratello di” (considerando due uomini) è una relazione simmetrica: se Marco è fratello di Luca, Luca è fratello di Marco; tuttavia non è necessariamente biunivoca, perché una persona può avere più fratelli.
Al contrario, una corrispondenza biunivoca non deve essere simmetrica: persona → codice fiscale è uno-a-uno, ma la relazione “ha come codice fiscale” non può essere semplicemente letta al contrario mantenendo lo stesso significato.
In sintesi,
- biunivocità = corrispondenza uno-a-uno;
- simmetria = stessa relazione valida nei due versi.
Se abbiamo:
Marco → Codice fiscale di Marco
la relazione inversa non significa: ❌ “Il codice fiscale possiede Marco”
ma: Codice fiscale → persona a cui appartiene
Quindi il punto fondamentale è matematico, non linguistico:
- UNIVOCA: ogni x ha un solo y
- BIUNIVOCA: ogni x ha un solo y e ogni y corrisponde a un solo x
Questa distinzione è importante perché altrimenti “biunivoca” potrebbe sembrare significare semplicemente che la frase può essere letta nei due sensi, mentre non è questo il concetto.
Simmetria → riguarda la relazione stessa. Se A è in relazione con B, allora anche B deve essere in relazione con A con la stessa relazione.
Esempio:
Marco è fratello di Luca → Luca è fratello di Marco ✅
- “Essere fratello di” è una relazione simmetrica, perché se Marco è fratello di Luca, allora Luca è fratello di Marco: la stessa relazione vale nei due versi.
Marco è nato a Cagliari → Cagliari è nato a Marco ❌
- “Essere nato a” non è una relazione simmetrica, perché invertendo i due elementi la stessa relazione non rimane valida.
- La corrispondenza persona → città di nascita è univoca, perché ogni persona ha una sola città di nascita.
- Non è però biunivoca, perché nella stessa città possono essere nate molte persone:
Marco → Cagliari ← Anna
Partendo da Cagliari, quindi, non possiamo risalire a una sola persona.
- SIMMETRIA = stessa relazione valida nei due versi.
- BIUNIVOCITÀ = corrispondenza uno-a-uno nei due versi.
Relazione è il concetto più generale, mentre corrispondenza descrive il modo in cui gli elementi di due insiemi vengono associati.
Puoi immaginare una gerarchia:
RELAZIONE
↓
CORRISPONDENZA tra due insiemi
↓
FUNZIONE (se ogni x ha esattamente una y)
↓
FUNZIONE BIUNIVOCA (se la corrispondenza è uno-a-uno e copre entrambi gli insiemi)
1. Relazione simmetrica
“Essere sposato con”
Marco è sposato con Anna → Anna è sposata con Marco ✅
È simmetrica perché la stessa relazione rimane vera scambiando i due elementi:
Marco ↔ Anna
Simmetria = se A è in relazione con B, anche B è nella stessa relazione con A.
2. Corrispondenza biunivoca
Immaginiamo una gara in cui ogni concorrente riceve un numero identificativo unico:
Marco → numero 17
Anna → numero 25
Luca → numero 31
È biunivoca se ogni concorrente ha un solo numero e ogni numero appartiene a un solo concorrente.
Possiamo quindi risalire in entrambi i sensi:
Marco → 17
17 → Marco
Ma le due direzioni esprimono relazioni inverse diverse:
Marco “ha come numero” 17
17 “è il numero assegnato a” Marco
Quindi la corrispondenza è biunivoca, ma la relazione “ha come numero” non è simmetrica.
La distinzione fondamentale è:
SIMMETRIA → stessa relazione nei due sensi.
BIUNIVOCITÀ → corrispondenza uno-a-uno nei due sensi, anche se per tornare indietro si usa la relazione/funzione inversa.
Nota interessante: “essere sposato con”, se consideriamo un insieme di sole coppie monogame e tutti gli elementi sono accoppiati, può essere contemporaneamente simmetrica e biunivoca.
Come può essere descritta una funzione
Una funzione può essere rappresentata in diversi modi.
Possiamo utilizzare:
- una descrizione verbale;
- una formula matematica;
- una tabella;
- un diagramma;
- un grafico cartesiano.
Consideriamo ancora:
- y = 2x. Possiamo descriverla verbalmente dicendo: “A ogni numero x associamo il suo doppio.”
Possiamo poi costruire una tabella:
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 3 | 6 |
Infine possiamo rappresentare le coppie: (0; 0), (1; 2), (2; 4), (3; 6) sul piano cartesiano.
Rappresentazione cartesiana di una funzione
Il piano cartesiano è formato da due assi perpendicolari:
- l’asse orizzontale x, chiamato asse delle ascisse;
- l’asse verticale y, chiamato asse delle ordinate.
I due assi si incontrano nell’origine O, che ha coordinate: O(0; 0)
Per rappresentare una funzione, assegniamo alcuni valori a x e calcoliamo i corrispondenti valori di y.
- Prendiamo: y = 2x
Otteniamo:
| x | Calcolo | y |
|---|---|---|
| −2 | 2 × (−2) | −4 |
| −1 | 2 × (−1) | −2 |
| 0 | 2 × 0 | 0 |
| 1 | 2 × 1 | 2 |
| 2 | 2 × 2 | 4 |
Possiamo quindi collocare sul piano cartesiano i punti: (−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4). In questo caso i punti appartengono tutti a una retta.
Funzioni numeriche
Una funzione numerica è una funzione nella quale gli elementi considerati sono numeri.
- Per esempio: y = x + 3
A ogni numero x associamo il numero ottenuto aggiungendo 3.
- Se x = 2: y = 2 + 3 = 5
- Se x = 7: y = 7 + 3 = 10
Possiamo quindi costruire una tabella di valori e rappresentare successivamente la funzione sul piano cartesiano.
Funzioni tra grandezze
Le funzioni possono descrivere anche il rapporto tra grandezze fisiche o geometriche. Pensiamo al perimetro di un quadrato.
- Se l rappresenta la lunghezza del lato, il perimetro P è: P = 4l
- y = f(x) → y = 4x → P = 4l → variabile dipendente → Perimetro = f(variabile indipendente → lato)
Il perimetro è quindi una funzione della lunghezza del lato.
Per esempio:
| Lato l INDIPENDENTE | Perimetro P DIPENDENTE |
|---|---|
| 1 cm | 4 cm |
| 2 cm | 8 cm |
| 3 cm | 12 cm |
| 5 cm | 20 cm |
Aumentando il lato, aumenta anche il perimetro secondo una regola matematica precisa.
- variabile dipendente → Perimetro = f(variabile indipendente → lato)
Funzioni matematiche e funzioni empiriche
È utile distinguere tra funzioni matematiche e funzioni empiriche.
Una funzione matematica è descritta attraverso una regola matematica precisa.
- Per esempio: y = 3x
- Conoscendo x possiamo calcolare esattamente y.
Una funzione empirica, invece, deriva generalmente da osservazioni e misurazioni effettuate nella realtà.
Pensiamo alla temperatura registrata durante una giornata:
| Ora INDIPENDENTE | Temperatura DIPENDENTE |
|---|---|
| 8:00 | 15 °C |
| 10:00 | 18 °C |
| 12:00 | 22 °C |
| 14:00 | 24 °C |
| 16:00 | 23 °C |
La temperatura (variabile dipendente) dipende dall’ora (variabile indipendente)
- In questo caso i dati non derivano necessariamente da una formula: sono stati misurati.
- Possiamo comunque rappresentarli su un piano cartesiano per osservare come varia la temperatura nel tempo.
Come capire se un grafico rappresenta una funzione
Esiste un metodo molto semplice.
Immaginiamo di tracciare delle rette verticali sul grafico.
- Se una retta verticale incontra il grafico al massimo in un punto, allora il grafico può rappresentare una funzione del tipo: y = f(x).
- Se invece per uno stesso valore di x troviamo due o più valori differenti di y, non abbiamo una funzione di y rispetto a x.
Il motivo deriva direttamente dalla definizione: a ogni x deve corrispondere uno e un solo valore di y.
Perché le funzioni sono importanti
Le funzioni permettono di descrivere matematicamente come una quantità dipende da un’altra.
Per esempio possiamo studiare:
- tempo → distanza percorsa
- quantità acquistata → prezzo
- lato del quadrato → perimetro
- raggio → area del cerchio
- tempo → temperatura
- velocità → spazio percorso
La funzione consente quindi di trasformare una relazione tra grandezze in qualcosa che possiamo calcolare, organizzare in una tabella e rappresentare graficamente.
In sintesi
Il concetto fondamentale da ricordare è:
Una funzione associa a ogni elemento del dominio uno e un solo valore.
Possiamo rappresentare schematicamente tutto il procedimento così: valore di x → funzione → valore di y
e successivamente: regola → tabella dei valori → coppie (x; y) → punti sul piano cartesiano → grafico
Questo passaggio è particolarmente importante: comprendere bene corrispondenze, variabili, tabelle e piano cartesiano rende molto più semplice affrontare in seguito rette, proporzionalità, equazioni e lo studio delle funzioni alle scuole superiori.
- Guarda anche: Cos’è il grafico di una funzione su YouMath
