I problemi con le frazioni sono tra gli esercizi più importanti della matematica, perché insegnano ad applicare le frazioni a situazioni concrete. In genere si distinguono in due categorie fondamentali: il problema diretto, nel quale è noto il valore dell’intero e si deve calcolare una sua frazione, e il problema inverso (o indiretto), nel quale è nota una frazione dell’intero e occorre risalire al valore dell’intero stesso. Imparare a riconoscere la differenza tra questi due tipi di problemi è essenziale per affrontare con sicurezza gli esercizi sulle frazioni e costituisce una base indispensabile per lo studio delle proporzioni, delle percentuali e dell’algebra. In questa guida vedremo le caratteristiche di entrambi i casi con spiegazioni semplici, esempi pratici ed esercizi svolti.
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Le Frazioni indicano le parti in cui può essere diviso un intero.
2) La somma di due segmenti misura 190 cm e il minore è 1/4 del maggiore. Quanto misurano i due segmenti?
DATI
- 2 numero dei segmenti da sommare
- 190 cm misure dei due segmenti da sommare
- il segmento minore misura 1/4 del segmento maggiore
Svolgimento
Per prima cosa è necessario individuare come possono essere rappresentati i due segmenti in frazioni:
– se il segmento minore è 1/4 del maggiore, vuol dire che il maggiore è l’unità
Secondo, sommando i due valori: 1 + 4 = 5, questo valore rappresenta la somma dei due segmenti espressa in centimetri (190 cm).
E quindi: 190:5 = 38
- 38 x 4 = 152 segmento maggiore
- 38 x 1 = 38 segmento minore
Problema in cui ho la frazione, l’intero e devo calcolare diverse parti dell’intero applicando l’operazione di sottrazione
3) La differenza di due segmenti misura 42 cm e il minore è 2/9 del maggiore. Quanto misurano i DUE segmenti?
DATI
- 2 numero dei segmenti da sottrarre tra loro
- 42 cm – valore della sottrazione dei due sementi
- 2/9 – valore del minore rispetto al maggiore espresso in frazione
Svolgimento
Se il problema mi chiede la differenza, devo fare la differenza tra i due valori, indicando con 9 il segmento maggiore e con 2 il segmento minore. Ovvero:
- 9 – 2 = 7
- 42:7 = 6
- 6 x 9 = 54
- 6×2 = 12
- 54-12= 42
4) Una frazione è tale che la somma dei termini è 13. Aggiungendo 4 al numeratore e togliendo 2 al denominatore si ottiene una frazione equivalente a 4. Determina la frazione.
Considerazione: una frazione si dice equivalente a un numero, quando la divisione tra numeratore e denominatore dà come quoziente quel numero stesso. Quindi, una frazione equivalente a quattro potrebbe essere 12/3 = 4, oppure 16/4 = 4, oppure ancora 20/5 = 4.
Svolgimento
[(13-x) + 4 ] : ( x-2) = 4 → 17 – x = 4x – 8 → 17 + 8 = 4x + x → 25 = 5x → 5 = x
Soluzione
la frazione era data da 13 – 5 = 8 al numeratore e 5 al denominatore;
aggiungendo 4 al numeratore si ottiene 8 + 4 = 12; togliendo 2 al denominatore si ottiene 5 – 2 = 3
mettendo in frazione 12 e 3 si ottiene una frazione equivalente a 4. Ovvero: 12 /3 = 4
5) In una libreria vi sono 4 ripiani. Nel primo ripiano vi sono i 5/16 del totale dei libri, nel secondo 1/4, nel terzo i 7/20, infine nei quarto ripiano vi sono 14 libri. Quanti libri ci sono in tutto nella libreria?
DATI
- 4 – numero dei ripiani di una libreria;
- 5/16 – quantità di libri rispetto al totale della libreria presenti nel 1° ripiano;
- 1/4 – quantità di libri rispetto al totale della libreria presenti nel 2° ripiano;
- 7 / 20 – quantità di libri rispetto al totale della libreria presenti nel 3° ripiano.
- 14 – quantità di libri presenti nel 4° ripiano.
Quesito: quanti libri ci sono in tutto nella libreria?
1° METODO – Svolgimento con l’uso delle equazioni
Per risolvere questo problema basta utilizzare le equazioni individuando il numero dei libri come l’incognita “x” . E quindi, il problema può essere affrontato svolgendo la seguente equazione:
5/16x + 1/4x + 7/20x + 14 = x
2° METODO – Svolgimento senza le equazioni
Per prima cosa bisogna individuare la quantità di libri del 4 piano espressa in numeri interi e trasformarla in numeri frazionari.
1-(5/16+1/4+7/20) = 1-(25/80+20/80+28/80) = 1-73/80 = 7/80 frazione dei libri sul quarto ripiano rispetto al totale
Quindi 7/80 = 14 → (7×14) : 80 = 160 numero dei libri presenti nella libreria
6) In una fattoria vi sono 96 animali fra polli e conigli. Se il rapporto fra il numero dei polli e quello dei conigli è 3/5, quante zampe si contano in totale?
DATI:
- 96 – numero di animali presenti in fattoria fra polli e conigli;
- 3/5 – rapporto tra polli e conigli
Quesito: quante zampe si contano in totale?
Svolgimento
se il rapporto polli e conigli è 3 a 5, vuol dire che il totale di essi è 3 + 5 = 8;
dividendo 96: 8 = 12
12×3 = 36 → numero di polli; 12×5 = 60 → numero di conigli;
numero zampe conigli: 4 x 60 = 240
numero zampe polli: 2 x 36 = 72
Totale numero di zampe tra polli e conigli: 240+72 = 312
Soluzione: numero di zampe tra polli e conigli presenti nella fattoria è 312
FONTE: pianetaproblemi.net;
7) I ciclisti hanno già percorso i 3/5 di una tappa lunga 215 km. Quanti km hanno già percorso?
(215:5) x 3 = 129 km già percorsi
215-129= 86 km distanza ancora da percorrere per finire la tappa
8) Luigi compie un viaggio percorrendo in totale 2600 km. Sapendo che i km che ha percorso in treno sono i 3/5 dei chilometri percorsi in auto, quanti chilometri ha percorso con ciascuno dei due mezzi di trasporto?
Svolgimento:
(2600:5)x3 = 1560 km in treno;
(2600:5)x2 = 1040 km in auto.
9) In un parcheggio il numero dei posti per le auto è i 5/2 del numero dei posti per i camper. Se il numero dei posti per le auto supera di 30 unità il numero dei posti per i camper, quale sarà rispettivamente il numero dei posti per le auto e quello dei posti per i camper?
DATI
- 5/2 x – frazione dei posti auto rispetto ai camper;
- x = numero posti camper;
- x + 30 = numero posti auto;
Svolgimento:
se i posti auto sono 5/2 dei posti dei camper, vuol dire che i posti dei camper sono 2/2 e i posti auto sono (30:3)x5= 50; posti camper: 10×2=20.
FONTE: MATEMATICA SCUOLA SECONDARIA DI 1° GRADO
Problemi diretti e inversi con le frazioni
Nei problemi diretti con le frazioni è conosciuto il valore dell’intero e bisogna calcolarne una parte. Nei problemi inversi o indiretti, invece, è conosciuto il valore di una parte frazionaria e bisogna risalire all’intero. Prova a risolvere i seguenti esercizi e confronta poi i risultati con le soluzioni riportate in fondo.
10 problemi diretti con le frazioni
Problema 1
Una biblioteca possiede 120 libri. I 3/5 sono libri di narrativa. Quanti libri di narrativa possiede la biblioteca?
Problema 2
In una scuola ci sono 240 alunni. I 7/12 frequentano la scuola secondaria. Quanti sono gli alunni della scuola secondaria?
Problema 3
Un agricoltore raccoglie 350 kg di arance e ne vende i 4/7. Quanti chilogrammi di arance vende?
Problema 4
Un serbatoio può contenere 900 litri d’acqua ed è pieno per i 5/9 della sua capacità. Quanti litri d’acqua contiene?
Problema 5
Una pista ciclabile è lunga 48 km. Luca ne ha già percorso i 3/8. Quanti chilometri ha percorso?
Problema 6
Un negozio ha ricevuto 180 magliette e ne ha venduto i 2/3. Quante magliette ha venduto?
Problema 7
Un libro è composto da 320 pagine. Sara ne ha letto i 5/8. Quante pagine ha letto?
Problema 8
In un frutteto ci sono 450 alberi. I 2/5 sono alberi di limone. Quanti alberi di limone ci sono?
Problema 9
Una somma di 560 euro viene utilizzata per acquistare del materiale. La spesa corrisponde ai 3/7 della somma. Quanto viene speso?
Problema 10
Una palestra ha 270 iscritti. I 4/9 frequentano i corsi del mattino. Quanti iscritti frequentano i corsi del mattino?
10 problemi inversi o indiretti con le frazioni
Problema 1
I 3/5 dei libri di una biblioteca corrispondono a 72 libri. Quanti libri possiede complessivamente la biblioteca?
Problema 2
I 7/12 degli alunni di una scuola sono 140. Quanti alunni frequentano complessivamente la scuola?
Problema 3
Un agricoltore vende i 4/7 delle arance raccolte, pari a 200 kg. Quanti chilogrammi di arance aveva raccolto?
Problema 4
I 5/9 della capacità di un serbatoio corrispondono a 500 litri. Qual è la capacità totale del serbatoio?
Problema 5
Luca ha percorso 18 km, corrispondenti ai 3/8 di una pista ciclabile. Quanto è lunga l’intera pista?
Problema 6
Un negozio ha venduto 120 magliette, pari ai 2/3 di quelle ricevute. Quante magliette aveva ricevuto?
Problema 7
Sara ha letto 200 pagine, che rappresentano i 5/8 di un libro. Quante pagine ha il libro?
Problema 8
In un frutteto ci sono 180 alberi di limone, che costituiscono i 2/5 di tutti gli alberi. Quanti alberi ci sono complessivamente?
Problema 9
Una spesa di 240 euro rappresenta i 3/7 della somma disponibile. Qual era la somma iniziale?
Problema 10
I partecipanti ai corsi del mattino sono 120 e rappresentano i 4/9 degli iscritti di una palestra. Quanti sono complessivamente gli iscritti?
Soluzioni dei problemi diretti
Per calcolare una frazione di un numero si può:
- dividere l’intero per il denominatore;
- moltiplicare il risultato per il numeratore.
La formula è:
Intero × numeratore ÷ denominatore
Soluzione 1
120 × 3/5 = 120 ÷ 5 × 3 = 24 × 3 = 72 libri
Soluzione 2
240 × 7/12 = 240 ÷ 12 × 7 = 20 × 7 = 140 alunni
Soluzione 3
350 × 4/7 = 350 ÷ 7 × 4 = 50 × 4 = 200 kg
Soluzione 4
900 × 5/9 = 900 ÷ 9 × 5 = 100 × 5 = 500 litri
Soluzione 5
48 × 3/8 = 48 ÷ 8 × 3 = 6 × 3 = 18 km
Soluzione 6
180 × 2/3 = 180 ÷ 3 × 2 = 60 × 2 = 120 magliette
Soluzione 7
320 × 5/8 = 320 ÷ 8 × 5 = 40 × 5 = 200 pagine
Soluzione 8
450 × 2/5 = 450 ÷ 5 × 2 = 90 × 2 = 180 alberi
Soluzione 9
560 × 3/7 = 560 ÷ 7 × 3 = 80 × 3 = 240 euro
Soluzione 10
270 × 4/9 = 270 ÷ 9 × 4 = 30 × 4 = 120 iscritti
Soluzioni dei problemi inversi
Per trovare l’intero conoscendo una sua frazione si può:
- dividere il valore conosciuto per il numeratore;
- moltiplicare il risultato per il denominatore.
La formula è:
Parte ÷ numeratore × denominatore
Soluzione 1
72 ÷ 3 × 5 = 24 × 5 = 120 libri
Soluzione 2
140 ÷ 7 × 12 = 20 × 12 = 240 alunni
Soluzione 3
200 ÷ 4 × 7 = 50 × 7 = 350 kg
Soluzione 4
500 ÷ 5 × 9 = 100 × 9 = 900 litri
Soluzione 5
18 ÷ 3 × 8 = 6 × 8 = 48 km
Soluzione 6
120 ÷ 2 × 3 = 60 × 3 = 180 magliette
Soluzione 7
200 ÷ 5 × 8 = 40 × 8 = 320 pagine
Soluzione 8
180 ÷ 2 × 5 = 90 × 5 = 450 alberi
Soluzione 9
240 ÷ 3 × 7 = 80 × 7 = 560 euro
Soluzione 10
120 ÷ 4 × 9 = 30 × 9 = 270 iscritti
Schema riassuntivo
Problema diretto: conosco l’intero e cerco una sua parte.
Intero ÷ denominatore × numeratore
Problema inverso: conosco una parte frazionaria e cerco l’intero.
Parte ÷ numeratore × denominatore
- Guarda anche: Problemi con le Frazioni su LezioniIgnoranti
