I numeri naturali, indicati con il simbolo ℕ, rappresentano il primo insieme numerico che impariamo a utilizzare fin dall’infanzia. Sono i numeri impiegati per contare, ordinare e misurare quantità intere.

Tutta la matematica, dall’algebra all’analisi matematica, si fonda sulla piena comprensione dei numeri naturali. Per questo motivo è fondamentale padroneggiarli prima di affrontare argomenti più avanzati.

• Guarda anche: I Numeri Interi

L’Insieme dei Numeri Naturali

L’Insieme dei Numeri Naturali è l’insieme numerico più semplice perché è quello che ha il rapporto diretto con la realtà.

L’insieme dei Numeri Naturali si indica col simbolo N e comprende i numeri positivi (1,2,3, …) più lo zero (0).

I numeri naturali sono:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…

Alcuni testi iniziano l’insieme da 1, altri da 0.

Caratteristiche:

• sono infiniti;
• non comprendono numeri negativi;
• non comprendono frazioni;
• non comprendono numeri decimali.

Servono principalmente a:

• contare oggetti;
• numerare;
• ordinare.

L’insieme dei Numeri Naturali è infinito e, nella convenzione che include lo zero, possiede un limite inferiore rappresentato dal numero 0.

L’addizione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme dei Numeri Naturali: il risultato di queste operazioni è sempre un numero naturale.

La sottrazione è possibile nell’insieme dei Numeri Naturali solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. In caso contrario il risultato sarebbe un numero negativo, che non appartiene all’insieme dei Numeri Naturali.

Se si adotta la convenzione ℕ con lo zero:

• 7 − 7 = 0 → Ed è perfettamente un numero naturale

La divisione è possibile nell’insieme dei Numeri Naturali solo quando il dividendo è divisibile per il divisore, cioè quando la divisione ha resto zero. In caso contrario il risultato è un numero decimale o frazionario, che non appartiene all’insieme dei Numeri Naturali.

Ad esempio:

• 24 ÷ 6 = 4 ✅
• 21 ÷ 7 = 3 ✅
• 7 ÷ 2 = 3,5 ❌ (non appartiene a ℕ)
• 5 ÷ 3 = 1,666… ❌ (non appartiene a ℕ)

Numeri Naturali

I Numeri Naturali sono i numeri utilizzati per contare e ordinare gli oggetti.

Nella matematica moderna, l’insieme dei Numeri Naturali comprende generalmente anche lo zero:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

In questo caso i Numeri Naturali coincidono con i Numeri Interi Non Negativi, cioè tutti gli interi maggiori o uguali a zero.

In alcuni libri di testo, soprattutto scolastici, i Numeri Naturali vengono invece fatti iniziare da 1:

N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

In questa convenzione i Numeri Naturali coincidono con i Numeri Interi Positivi.

In sintesi

• Numeri Naturali (convenzione moderna): N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
• Numeri Interi Non Negativi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
• Numeri Interi Positivi: {1, 2, 3, 4, 5, …}

Nota: Prima di svolgere esercizi o verifiche è sempre opportuno controllare quale convenzione adotta il libro di testo o l’insegnante, cioè se lo 0 è considerato oppure no un numero naturale.

Lo zero appartiene ai Numeri Naturali?

Una delle prime domande che si incontrano nello studio della matematica è se lo zero appartenga oppure no all’insieme dei Numeri Naturali.

La risposta è che non esiste un’unica convenzione.

In molti testi moderni, l’insieme dei Numeri Naturali comprende anche lo zero:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}

In altri libri, soprattutto scolastici, i Numeri Naturali iniziano invece da 1:

N = {1, 2, 3, 4, 5, …}

Entrambe le definizioni sono corrette, purché sia chiaro quale convenzione si sta adottando.

Perché alcuni includono lo zero e altri no?

La differenza deriva dal modo in cui vengono utilizzati i Numeri Naturali.

Quando servono per contare una quantità, è naturale includere anche lo zero, perché rappresenta l’assenza di elementi.

Ad esempio:

• un parcheggio può contenere 0 automobili;
• una scatola può contenere 0 penne;
• un appartamento può avere 0 inquilini.

In tutti questi casi lo zero indica semplicemente che non è presente alcun elemento.

Quando invece i Numeri Naturali vengono utilizzati per indicare una posizione in un ordine, la numerazione parte normalmente da 1.

Ad esempio:

• 1° classificato;
• 2° classificato;
• 3° classificato.

Non esiste infatti uno 0° classificato, perché una posizione iniziale deve necessariamente partire dal primo posto.

Oggi, in matematica, è sempre più frequente considerare lo zero come il primo Numero Naturale. Tuttavia molti libri di testo continuano a far iniziare l’insieme dei Numeri Naturali da 1.

Per questo motivo è sempre consigliabile verificare quale convenzione adotta il proprio libro o il proprio insegnante.

Pertanto, se nell’insieme dei Numeri Naturali includiamo lo zero, e quindi usiamo questo insieme per “contare”, il simbolo utilizzato è questo:

Lo zero indica
la mancanza di oggetti

Insiemistica e Numeri Naturali

Immaginiamo un pastore che voglia ricordare quante sono le pecore del suo gregge.

Per non dimenticarne il numero, può formare un mucchio di sassolini facendo corrispondere a ogni pecora un sassolino. In questo modo, il numero dei sassolini sarà sempre uguale al numero delle pecore.

In matematica questa relazione prende il nome di corrispondenza biunivoca (o uno a uno), perché a ogni elemento di un insieme corrisponde uno e un solo elemento dell’altro insieme.

Per rappresentare questa situazione si possono indicare i due insiemi con delle lettere:

• Insieme A = insieme delle pecore;
• Insieme B = insieme dei sassolini.

Se il numero dei sassolini coincide con quello delle pecore, i due insiemi hanno la stessa cardinalità, cioè contengono lo stesso numero di elementi.

• Guarda anche: I numeri naturali su Zanichelli

Dal sassolino al numero

Utilizzare i sassolini è un metodo pratico per verificare che nessuna pecora manchi, ma non è il modo più semplice per rappresentarne la quantità.

Con l’introduzione dei Numeri Naturali, il pastore non ha più bisogno dei sassolini: gli basta contare le pecore e associare alla loro quantità un numero.

Ad esempio, se il gregge è formato da 25 pecore, sarà sufficiente scrivere il numero 25, senza dover raccogliere e conservare 25 sassolini.

Il numero diventa così una rappresentazione astratta della quantità di elementi contenuti in un insieme, rendendo il conteggio molto più semplice, rapido e pratico.

Contare

L’operazione di contare consiste nell’associare a ciascun oggetto un Numero Naturale, seguendo l’ordine crescente dei numeri, fino a esaurire tutti gli elementi dell’insieme.

CONTARE
Stabilire una corrispondenza tra
il numero e l’oggetto 

I Numeri naturali (ℕ)

1. Che cosa sono i numeri naturali.
2. Sistema di numerazione decimale.
3. Valore posizionale delle cifre.
4. Le quattro operazioni.
5. Proprietà delle operazioni (commutativa, associativa, distributiva).
6. Espressioni.
7. Potenze.
8. Multipli e divisori.
9. Numeri primi.
10. Scomposizione in fattori primi.
11. MCD e mcm.

Lo studio dei numeri naturali (ℕ) non si limita a imparare a contare, ma comprende tutte le conoscenze fondamentali necessarie per utilizzare correttamente i numeri interi positivi e lo zero. Questo argomento introduce il sistema di numerazione decimale, il valore posizionale delle cifre, le quattro operazioni fondamentali e le loro principali proprietà (commutativa, associativa e distributiva). Successivamente si affrontano le espressioni, le potenze, i concetti di multiplo e divisore, i numeri primi, la scomposizione in fattori primi e il calcolo del Massimo Comune Divisore (MCD) e del Minimo Comune Multiplo (mcm). La padronanza di questi argomenti costituisce la base indispensabile per lo studio dell’algebra, della geometria e di tutta la matematica successiva.