Frazioni e Decimali

Le frazioni e i numeri decimali sono due diversi modi di rappresentare la stessa quantità e costituiscono uno degli argomenti fondamentali della matematica. Saper passare da una frazione a un numero decimale, riconoscere quando due valori sono equivalenti e scegliere la rappresentazione più adatta permette di affrontare con maggiore sicurezza calcoli, problemi ed espressioni. In questa guida scoprirai cosa sono le frazioni e i numeri decimali, quali sono le loro caratteristiche, le principali differenze e somiglianze, come convertirli da una forma all’altra e come utilizzarli correttamente attraverso esempi pratici ed esercizi.

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Perché sono nati i Numeri Decimali?

I Numeri Decimali sono nati dall’esigenza di rappresentare il risultato di divisioni che non possono essere espresse con un numero intero.

Quando il dividendo non è multiplo del divisore, infatti, il quoziente non appartiene all’insieme dei Numeri Interi e diventa necessario utilizzare una frazione oppure un numero decimale.

Ad esempio:

• dividere un terreno in parti uguali tra 3 eredi (1 ÷ 3);
• distribuire 6 forme di pane tra 4 persone (6 ÷ 4).

In questi casi il risultato della divisione non è un numero intero e occorre rappresentare anche una parte dell’unità.

Fin dall’antichità l’uomo si trovò quindi nella necessità di suddividere un’unità in parti uguali per esprimere quantità non intere. Da questa esigenza nacque dapprima il concetto di frazione e, successivamente, la rappresentazione mediante i Numeri Decimali, che consentono di scrivere molte frazioni in una forma più semplice e immediata.

Storia dei Numeri Decimali

La storia delle frazioni e dei Numeri Decimali si sviluppò in epoche diverse.

Le prime frazioni comparvero già nelle antiche civiltà dell’Egitto e della Mesopotamia, dove venivano utilizzate per effettuare misurazioni, suddividere terreni, distribuire beni e risolvere problemi pratici della vita quotidiana.

I Numeri Decimali, invece, si diffusero molto più tardi. La loro introduzione nella matematica europea si deve soprattutto al matematico fiammingo Simon Stevin, che nel 1585 pubblicò l’opera De Thiende (“La Decima”), dimostrando quanto la scrittura decimale fosse più semplice e pratica per eseguire calcoli e rappresentare le frazioni.

Da allora i Numeri Decimali si affermarono progressivamente fino a diventare il sistema di rappresentazione delle quantità frazionarie più utilizzato in tutto il mondo.

Frazioni e Numeri Decimali sono equivalenti

Le frazioni e i Numeri Decimali sono due diversi modi di rappresentare lo stesso valore numerico.

Infatti, ogni numero decimale può essere scritto sotto forma di frazione e molte frazioni possono essere espresse come numeri decimali.

Ad esempio:

6/5 = 1,2

In questo caso, la frazione 6/5 e il numero decimale 1,2 rappresentano esattamente la stessa quantità, pur essendo scritti in modo diverso.

Per questo motivo si dice che la frazione e il numero decimale sono rappresentazioni equivalenti dello stesso numero.

Pertanto:

“Numero decimale e frazione non sono del tutto equivalenti, ma rappresentano lo stesso valore numerico.”

“La frazione e il numero decimale sono due rappresentazioni equivalenti dello stesso numero.”

Questa formulazione è più rigorosa, perché evita di far pensare che tutte le frazioni possano essere rappresentate con un numero decimale finito. Ad esempio:

• 1/2 = 0,5 ✔
• 3/4 = 0,75 ✔
• 1/3 = 0,3333… (decimale periodico)

Quindi è più corretto parlare di rappresentazioni equivalenti dello stesso numero, anziché dire semplicemente che “frazione e numero decimale sono equivalenti”.

1/2, 2/4 e 0,5 sono rappresentazioni diverse dello stesso numero.

oppure

La frazione 1/2 e il numero decimale 0,5 rappresentano lo stesso valore numerico.

Questa idea si vede bene anche con la retta numerica:

0---------0,5---------1

        ▲
     1/2 = 0,5 = 2/4

C’è un solo punto sulla retta, ma possiamo indicarlo in modi diversi.

È un po’ come una persona.

• “Leonardo Fibonacci”
• “Fibonacci”
• “Leonardo Pisano”

Sono tre modi diversi di indicare la stessa persona.

Allo stesso modo:

• 1/2
• 0,5
• 50/100

sono tre modi diversi di rappresentare lo stesso numero.

Frazioni e Numeri Decimali a confronto

Le frazioni e i Numeri Decimali sono due diversi modi di rappresentare lo stesso valore numerico. In molti casi una frazione può essere espressa come numero decimale e, viceversa, un numero decimale può essere scritto sotto forma di frazione.

Somiglianze

Le frazioni e i Numeri Decimali hanno alcune caratteristiche in comune:

• Rappresentano lo stesso tipo di quantità, cioè possono esprimere una parte di un’unità o una quantità non intera.

  Esempio: 1/2 = 0,5

• Sono convertibili tra loro. Una frazione può essere trasformata in un numero decimale eseguendo la divisione tra il numeratore e il denominatore. Allo stesso modo, un numero decimale può essere scritto sotto forma di frazione.

  Esempi:

  • 3/4 = 0,75
  • 0,25 = 1/4

Differenze

Pur rappresentando lo stesso valore, frazioni e Numeri Decimali si scrivono in modo diverso.

• Forma di scrittura. Le frazioni sono espresse come rapporto tra due numeri interi (a/b), mentre i Numeri Decimali sono scritti utilizzando la virgola decimale.

• Rappresentazione del numero. Alcune frazioni danno origine a un numero decimale finito, come 1/2 = 0,5 oppure 3/4 = 0,75. Altre, invece, producono un numero decimale periodico, cioè con una o più cifre che si ripetono all’infinito.

  Esempio:

  1/3 = 0,3333…

• Utilizzo. Le frazioni sono particolarmente adatte per rappresentare rapporti, proporzioni e suddivisioni esatte, mentre i Numeri Decimali sono generalmente più pratici nei calcoli, nelle misurazioni e nelle applicazioni della vita quotidiana.

Le frazioni e i Numeri Decimali non sono due numeri diversi, ma due differenti rappresentazioni dello stesso numero. La scelta dell’una o dell’altra dipende dal contesto e dalla praticità con cui si desidera esprimere una determinata quantità.

I Numeri Decimali

Nel Sistema di Numerazione Decimale il valore di ogni cifra dipende dalla posizione che essa occupa all’interno del numero. Per questo motivo il sistema decimale è definito posizionale.

La parte che si trova a sinistra della virgola prende il nome di parte intera, mentre quella che si trova a destra della virgola è detta parte decimale.

La parte intera del numero

La parte intera di un numero è organizzata secondo ordini di grandezza crescenti.

• L’ordine più piccolo è quello delle unità.
• Procedendo verso sinistra si trovano le decine, le centinaia, le migliaia, le decine di migliaia, le centinaia di migliaia, i milioni e così via.
• Ogni ordine vale dieci volte quello immediatamente alla sua destra.

Ad esempio, nel numero 2.654:

• il 4 rappresenta 4 unità;
• il 5 rappresenta 5 decine, cioè 50;
• il 6 rappresenta 6 centinaia, cioè 600;
• il 2 rappresenta 2 migliaia, cioè 2.000.

Questo significa che il Sistema di Numerazione Decimale è un sistema di numerazione posizionale in base 10: utilizza dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e il valore di ciascuna cifra dipende dalla posizione che occupa nel numero.

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La componente decimale

Quando si vuole rappresentare il numero oltre che nella sua componente intera anche in quella decimale, a destra della cifra dell’ordine dell’unità si appone la virgola e quindi a seguire le cifre dell’ordine dei decimi, dei centesimi, dei millesimi etc. Queste cifre a destra della virgola vengono chiamate unità decimali.

Per quanto riguarda le cifre decimali, esse diminuiscono di valore man mano che si passa dall’ordine dei decimali, a quelli dei centesimi, dei millesimi e così via. La diminuzione avviene dividendo per dieci il valore dell’unità precedente. Quindi:

• 1 unità vale 1/10 di unità ;
• 1 centesimo vale 1/100 di unità ;
• 1 millesimo vale 1/1000 di unità …

Viceversa, le cifre della componente intera aumentano di 10 ogni volta che si passa da un ordine più piccolo ad uno più grande. Ovvero:

• per fare una unità servono 10 decimi
• per fare una decina servono 10 unità
• per fare un centinaio servono 100 unità o 10 decine
• per fare un migliaio servono 1000 unità o 10 centinaia

Da numero decimale a frazione

1. Scrivi il numero decimale come un rapporto:
   • Ad esempio, $0,75$ diventa 75100\frac{75}{100}10075​.
2. Semplifica la frazione:
   • Trova il massimo comune divisore (MCD) tra numeratore e denominatore.
   • Nel nostro esempio:
     $75$ e $100$ hanno un MCD di $25$.
     75100=75÷25100÷25=34\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}10075​=100÷2575÷25​=43​.
3. Verifica: Controlla che il risultato sia corretto rifacendo la divisione.
   • 34=0,75\frac{3}{4} = 0,7543​=0,75.

Da frazione a numero decimale

1. Esegui la divisione:
   • Dividi il numeratore (sopra) per il denominatore (sotto).
   • Ad esempio:
     34=3÷4=0,75\frac{3}{4} = 3 \div 4 = 0,7543​=3÷4=0,75.
2. Decimali periodici:
   • Alcune frazioni hanno una divisione che non si interrompe mai, come 13=0,333…\frac{1}{3} = 0,333\ldots31​=0,333… (decimale periodico).
   • In tal caso, puoi indicare il risultato come 0,3‾0,\overline{3}0,3.

Esempi pratici

1. Da $0,2$ a frazione:
   • 0,2=2100,2 = \frac{2}{10}0,2=102​, semplificato: 15\frac{1}{5}51​.
2. Da 78\frac{7}{8}87​ a decimale:
   • $7÷8=0,875$.

Autore dell’Articolo: Pierpaolo Spanu