Dalle frazioni alle equivalenze e viceversa. Come risolvere i problemi con le frazioni che rappresentano uno degli argomenti fondamentali della matematica della scuola primaria e secondaria di primo grado.
Saper risolvere esercizi che richiedono di passare dalle frazioni alle equivalenze e viceversa significa imparare a riconoscere i rapporti tra le quantità, individuare il valore dell’intero e applicare correttamente le proprietà delle frazioni. In questa guida troverai spiegazioni semplici, esempi svolti passo dopo passo e problemi risolti con due diversi metodi, così da comprendere il ragionamento matematico e acquisire sicurezza nella risoluzione degli esercizi. Imparare a utilizzare le frazioni nei problemi è una competenza indispensabile per affrontare con successo gli argomenti successivi, come proporzioni, percentuali ed equazioni.
Problemi con le frazioni
Da frazioni a equivalenze e viceversa
Esercizio 1
Testo del problema
La differenza tra due segmenti misura 8 cm e il minore è 2/3 dell’altro. Calcola la lunghezza dei due segmenti.
Metodo delle frazioni
Il segmento minore corrisponde ai 2/3 del segmento maggiore.
Il segmento maggiore rappresenta l’intero, cioè:
3/3
La differenza tra il segmento maggiore e quello minore corrisponde a:
3/3 – 2/3 = 1/3
Sappiamo che questa differenza misura 8 cm. Quindi:
1/3 del segmento maggiore = 8 cm
Per trovare l’intero segmento maggiore moltiplichiamo 8 per 3:
8 × 3 = 24 cm
Il segmento minore è i 2/3 di 24 cm:
24 × 2/3 = 16 cm
Verifica:
24 – 16 = 8 cm
Risposta
Il segmento maggiore misura 24 cm e il segmento minore misura 16 cm.
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x la lunghezza del segmento maggiore.
Il segmento minore misura:
2/3 x
La differenza tra i due segmenti è 8 cm. Scriviamo l’equazione:
x – 2/3 x = 8
Riduciamo i termini simili:
3/3 x – 2/3 x = 8
1/3 x = 8
Moltiplichiamo entrambi i membri per 3:
x = 8 × 3
x = 24
Il segmento maggiore misura quindi 24 cm.
Calcoliamo il segmento minore:
2/3 × 24 = 16 cm
Risposta
Il segmento maggiore misura 24 cm e il segmento minore misura 16 cm.
Esercizio 2
Testo del problema
Nel 1977, in Giappone erano installati 30.000.000 di apparecchi telefonici più che nell’URSS. Calcola il numero dei telefoni in questi due Paesi, sapendo che nell’URSS c’erano i 2/5 dei telefoni installati in Giappone.
Metodo delle frazioni
Il numero di telefoni presenti nell’URSS corrisponde ai 2/5 di quelli presenti in Giappone.
Il numero di telefoni del Giappone rappresenta l’intero:
5/5
La differenza tra il numero di telefoni del Giappone e quello dell’URSS è:
5/5 – 2/5 = 3/5
Questi 3/5 corrispondono a 30.000.000 di telefoni.
Troviamo il valore di 1/5:
30.000.000 : 3 = 10.000.000
Il Giappone possiede 5/5:
10.000.000 × 5 = 50.000.000
L’URSS possiede 2/5:
10.000.000 × 2 = 20.000.000
Verifica:
50.000.000 – 20.000.000 = 30.000.000
Risposta
In Giappone erano installati 50.000.000 di telefoni, mentre nell’URSS erano installati 20.000.000 di telefoni.
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x il numero di telefoni installati in Giappone.
Il numero di telefoni installati nell’URSS è:
2/5 x
Il Giappone possiede 30.000.000 di telefoni in più dell’URSS. Scriviamo l’equazione:
x – 2/5 x = 30.000.000
Riduciamo i termini simili:
5/5 x – 2/5 x = 30.000.000
3/5 x = 30.000.000
Moltiplichiamo entrambi i membri per 5/3:
x = 30.000.000 × 5/3
x = 50.000.000
In Giappone erano quindi installati 50.000.000 di telefoni.
Calcoliamo quelli installati nell’URSS:
50.000.000 × 2/5 = 20.000.000
Risposta
In Giappone erano installati 50.000.000 di telefoni, mentre nell’URSS erano installati 20.000.000 di telefoni.
Esercizio 3
Testo del problema
Per valutare, sia pure in maniera alquanto approssimativa, il tenore di vita di un popolo, si parla spesso di reddito medio per abitante. Con questo termine si indica la somma di denaro, espressa di solito in dollari USA, che in media è a disposizione di ogni singolo cittadino in un anno.
Nel 1977, il reddito medio di un cittadino sovietico era la metà di quello di un francese; questo, a sua volta, era 2/3 del reddito di uno svizzero; il reddito medio di un egiziano era, invece, 1/10 di quello di un sovietico.
Calcola il reddito medio dei cittadini di ciascuno dei quattro Paesi nominati, sapendo che il reddito di uno svizzero superava quello di un sovietico di 8.000 dollari.
Metodo delle frazioni
Il reddito di un francese è i 2/3 del reddito di uno svizzero.
Il reddito di un sovietico è la metà di quello di un francese.
Di conseguenza, il reddito del sovietico rispetto a quello dello svizzero è:
2/3 × 1/2 = 2/6 = 1/3
Il reddito del sovietico è quindi 1/3 di quello dello svizzero.
Il reddito dello svizzero rappresenta l’intero:
3/3
La differenza tra il reddito dello svizzero e quello del sovietico è:
3/3 – 1/3 = 2/3
Questi 2/3 corrispondono a 8.000 dollari.
Troviamo il valore di 1/3:
8.000 : 2 = 4.000 dollari
Il reddito dello svizzero corrisponde a 3/3:
4.000 × 3 = 12.000 dollari
Il reddito del sovietico corrisponde a 1/3:
12.000 × 1/3 = 4.000 dollari
Il reddito del francese è i 2/3 di quello dello svizzero:
12.000 × 2/3 = 8.000 dollari
Il reddito dell’egiziano è 1/10 di quello del sovietico:
4.000 × 1/10 = 400 dollari
Risposta
Il reddito medio era:
Egiziano: 400 dollari
Sovietico: 4.000 dollari
Francese: 8.000 dollari
Svizzero: 12.000 dollari
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x il reddito medio di uno svizzero.
Il reddito di un francese è:
2/3 x
Il reddito di un sovietico è la metà di quello di un francese:
1/2 × 2/3 x = 1/3 x
Lo svizzero guadagna 8.000 dollari in più del sovietico. Scriviamo l’equazione:
x – 1/3 x = 8.000
Riduciamo i termini simili:
3/3 x – 1/3 x = 8.000
2/3 x = 8.000
Moltiplichiamo entrambi i membri per 3/2:
x = 8.000 × 3/2
x = 12.000
Il reddito dello svizzero è quindi di 12.000 dollari.
Calcoliamo il reddito del francese:
12.000 × 2/3 = 8.000 dollari
Calcoliamo il reddito del sovietico:
8.000 × 1/2 = 4.000 dollari
Calcoliamo il reddito dell’egiziano:
4.000 × 1/10 = 400 dollari
Risposta
Il reddito medio era:
Egiziano: 400 dollari
Sovietico: 4.000 dollari
Francese: 8.000 dollari
Svizzero: 12.000 dollari
Esercizio 4
Testo del problema
Nel 1978, il reddito medio di un abitante della Sicilia era i 2/3 di quello di un abitante del Lazio e 1/2 di quello di un abitante della Lombardia.
Calcola il reddito medio, in lire italiane, di un abitante di ciascuna di queste regioni, sapendo che il reddito di un abitante del Lazio è stato di 1.200.000 lire superiore a quello di un siciliano.
Metodo delle frazioni
Il reddito di un siciliano è i 2/3 del reddito di un abitante del Lazio.
Il reddito del Lazio rappresenta l’intero:
3/3
La differenza tra il reddito del Lazio e quello della Sicilia è:
3/3 – 2/3 = 1/3
Questo 1/3 corrisponde a 1.200.000 lire.
Il reddito del Lazio, cioè 3/3, è:
1.200.000 × 3 = 3.600.000 lire
Il reddito della Sicilia è i 2/3 di quello del Lazio:
3.600.000 × 2/3 = 2.400.000 lire
Il reddito della Sicilia è anche la metà di quello della Lombardia.
Di conseguenza, il reddito della Lombardia è il doppio di quello della Sicilia:
2.400.000 × 2 = 4.800.000 lire
Risposta
Sicilia: 2.400.000 lire
Lazio: 3.600.000 lire
Lombardia: 4.800.000 lire
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x il reddito di un abitante del Lazio.
Il reddito di un siciliano è:
2/3 x
Il reddito del Lazio supera quello della Sicilia di 1.200.000 lire. Scriviamo l’equazione:
x – 2/3 x = 1.200.000
Riduciamo i termini simili:
3/3 x – 2/3 x = 1.200.000
1/3 x = 1.200.000
Moltiplichiamo entrambi i membri per 3:
x = 1.200.000 × 3
x = 3.600.000
Il reddito di un abitante del Lazio è quindi di 3.600.000 lire.
Calcoliamo quello della Sicilia:
3.600.000 × 2/3 = 2.400.000 lire
Poiché il reddito della Sicilia è la metà di quello della Lombardia, il reddito lombardo è:
2.400.000 × 2 = 4.800.000 lire
Risposta
Sicilia: 2.400.000 lire
Lazio: 3.600.000 lire
Lombardia: 4.800.000 lire
Esercizio 5
Testo del problema
Due numeri differiscono di 24. Il minore è i 3/7 del maggiore. Calcola i due numeri.
Metodo delle frazioni
Il numero minore è i 3/7 del numero maggiore.
Il numero maggiore rappresenta l’intero:
7/7
La differenza tra il numero maggiore e quello minore è:
7/7 – 3/7 = 4/7
Questi 4/7 corrispondono a 24.
Troviamo il valore di 1/7:
24 : 4 = 6
Il numero maggiore, che corrisponde a 7/7, è:
6 × 7 = 42
Il numero minore, che corrisponde a 3/7, è:
6 × 3 = 18
Verifica:
42 – 18 = 24
Risposta
Il numero maggiore è 42 e il numero minore è 18.
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x il numero maggiore.
Il numero minore è:
3/7 x
I due numeri differiscono di 24. Scriviamo l’equazione:
x – 3/7 x = 24
Riduciamo i termini simili:
7/7 x – 3/7 x = 24
4/7 x = 24
Moltiplichiamo entrambi i membri per 7/4:
x = 24 × 7/4
x = 42
Il numero maggiore è quindi 42.
Calcoliamo il numero minore:
42 × 3/7 = 18
Risposta
Il numero maggiore è 42 e il numero minore è 18.
Esercizio 6 – Dalle frazioni alle equivalenze e viceversa
Testo del problema
Un segmento AB è lungo 20 cm e un altro segmento CD è lungo 8 cm. Si vogliono allungare entrambi i segmenti di uno stesso numero di centimetri, facendo in modo che CD diventi uguale a 1/2 di AB. Di quanti centimetri si deve allungare ciascun segmento?
Metodo delle frazioni
La differenza iniziale tra i due segmenti è:
20 – 8 = 12 cm
Poiché entrambi i segmenti vengono allungati della stessa misura, la loro differenza rimane sempre di 12 cm.
Alla fine, CD deve essere 1/2 di AB.
AB rappresenta quindi:
2/2
CD rappresenta:
1/2
La differenza tra i due segmenti corrisponde a:
2/2 – 1/2 = 1/2
La differenza di 12 cm corrisponde quindi a 1/2 di AB.
Il nuovo segmento AB misura:
12 × 2 = 24 cm
Il nuovo segmento CD misura:
24 × 1/2 = 12 cm
Per sapere di quanto è stato allungato ciascun segmento, calcoliamo:
12 – 8 = 4 cm
Oppure:
24 – 20 = 4 cm
Risposta
Ciascun segmento deve essere allungato di 4 cm.
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x il numero di centimetri aggiunti a ogni segmento.
Dopo l’allungamento, AB misurerà:
20 + x
Dopo l’allungamento, CD misurerà:
8 + x
CD deve essere la metà di AB. Scriviamo l’equazione:
8 + x = 1/2 × (20 + x)
Moltiplichiamo entrambi i membri per 2:
2 × (8 + x) = 20 + x
16 + 2x = 20 + x
Portiamo x a sinistra e 16 a destra:
2x – x = 20 – 16
x = 4
Risposta
Ciascun segmento deve essere allungato di 4 cm.
Esercizio 7 – Dalle frazioni alle equivalenze e viceversa
Testo del problema
Vi è un mucchietto di 10 gettoni e un altro di 18 gettoni. Si vuole aggiungere un uguale numero di gettoni a entrambi i mucchietti, facendo in modo che il primo mucchietto contenga i 2/3 dei gettoni del secondo. Quanti gettoni si devono aggiungere a ciascun mucchietto?
Metodo delle frazioni
La differenza iniziale tra i due mucchietti è:
18 – 10 = 8 gettoni
Poiché viene aggiunto lo stesso numero di gettoni a entrambi, la differenza rimane sempre di 8 gettoni.
Alla fine, il primo mucchietto deve essere i 2/3 del secondo.
Il secondo mucchietto rappresenta l’intero:
3/3
Il primo mucchietto rappresenta:
2/3
La differenza tra i due mucchietti corrisponde a:
3/3 – 2/3 = 1/3
Questo 1/3 corrisponde a 8 gettoni.
Il secondo mucchietto, cioè 3/3, conterrà:
8 × 3 = 24 gettoni
Il primo mucchietto, cioè 2/3, conterrà:
8 × 2 = 16 gettoni
Calcoliamo quanti gettoni sono stati aggiunti:
16 – 10 = 6 gettoni
Oppure:
24 – 18 = 6 gettoni
Risposta
Si devono aggiungere 6 gettoni a ciascun mucchietto.
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x il numero di gettoni da aggiungere a ciascun mucchietto.
Il primo mucchietto conterrà:
10 + x
Il secondo mucchietto conterrà:
18 + x
Il primo deve essere i 2/3 del secondo. Scriviamo l’equazione:
10 + x = 2/3 × (18 + x)
Moltiplichiamo entrambi i membri per 3:
3 × (10 + x) = 2 × (18 + x)
30 + 3x = 36 + 2x
Portiamo 2x a sinistra e 30 a destra:
3x – 2x = 36 – 30
x = 6
Risposta
Si devono aggiungere 6 gettoni a ciascun mucchietto.
Esercizio 8 – Dalle frazioni alle equivalenze e viceversa
Testo del problema
Una vasca contiene 12 litri di acqua e un’altra vasca 30 litri. Si deve togliere un’uguale quantità di acqua dalle due vasche, facendo in modo che nella prima vasca rimanga 1/3 dell’acqua che c’è nella seconda vasca. Quanti litri di acqua si devono togliere da ciascuna vasca?
Metodo delle frazioni
La differenza iniziale tra le quantità di acqua è:
30 – 12 = 18 litri
Poiché viene tolta la stessa quantità di acqua da entrambe le vasche, la differenza rimane sempre di 18 litri.
Alla fine, nella prima vasca deve rimanere 1/3 dell’acqua presente nella seconda.
La quantità contenuta nella seconda vasca rappresenta:
3/3
La quantità contenuta nella prima vasca rappresenta:
1/3
La differenza corrisponde a:
3/3 – 1/3 = 2/3
Questi 2/3 corrispondono a 18 litri.
Troviamo il valore di 1/3:
18 : 2 = 9 litri
Nella prima vasca devono quindi rimanere 9 litri.
Nella seconda vasca devono rimanere:
9 × 3 = 27 litri
Calcoliamo quanti litri devono essere tolti dalla prima vasca:
12 – 9 = 3 litri
Verifichiamo con la seconda vasca:
30 – 27 = 3 litri
Risposta
Da ciascuna vasca si devono togliere 3 litri di acqua.
Metodo delle equazioni
Indichiamo con x la quantità di acqua da togliere da ciascuna vasca.
Nella prima vasca rimarranno:
12 – x
Nella seconda vasca rimarranno:
30 – x
La quantità rimasta nella prima vasca deve essere 1/3 di quella rimasta nella seconda. Scriviamo l’equazione:
12 – x = 1/3 × (30 – x)
Moltiplichiamo entrambi i membri per 3:
3 × (12 – x) = 30 – x
36 – 3x = 30 – x
Portiamo i termini numerici a sinistra e quelli con x a destra:
36 – 30 = 3x – x
6 = 2x
Dividiamo entrambi i membri per 2:
x = 3
Risposta
Da ciascuna vasca si devono togliere 3 litri di acqua.
- Guarda anche: le frazioni equivalente su YouMath
