I problemi sul trapezio rappresentano un’importante occasione per esercitarsi nel calcolo dell’area, delle basi, dell’altezza, del perimetro e delle diagonali di questa figura geometrica.
In questa raccolta proponiamo 24 esercizi di geometria sul trapezio, di difficoltà progressiva, adatti agli studenti della scuola secondaria di primo grado e a chi desidera ripassare le principali formule della geometria piana.
Gli esercizi affrontano diversi argomenti: il calcolo dell’area, le formule inverse, i rapporti tra le basi, le frazioni, i trapezi equivalenti e la scomposizione delle figure geometriche.
Sono inoltre presenti problemi più complessi sul trapezio isoscele, sul trapezio rettangolo e sulle diagonali perpendicolari.
Tutti i risultati sono riportati alla fine dell’articolo, in modo che gli studenti possano verificare autonomamente le proprie soluzioni.
- Guarda anche: Il trapezio, caratteristiche e definizioni
Le formule principali del trapezio
Prima di affrontare gli esercizi, ricordiamo le formule fondamentali del trapezio.
- Area del trapezio A = [(B + b) × h] / 2
- Altezza del trapezio h = (2 × A) / (B + b)
- Base maggiore del trapezio B = (2 × A) / h − b
- Base minore del trapezio b = (2 × A) / h − B
- Somma delle basi B + b = (2 × A) / h
- Perimetro del trapezio P = B + b + l₁ + l₂
Dove:
- A = area del trapezio
- B = base maggiore
- b = base minore
- h = altezza
- P = perimetro
- l₁ e l₂ = lati obliqui
Nel trapezio isoscele i lati obliqui hanno la stessa lunghezza, mentre nel trapezio rettangolo uno dei lati non paralleli è perpendicolare alle basi e coincide con un’altezza.
Esercizi di geometria sul trapezio
Problema 1 – Calcolare l’altezza conoscendo la somma delle basi
La somma delle basi di un trapezio è 15 cm e l’area è 45 cm². Calcola la misura dell’altezza.
Problema 2 – Calcolare l’altezza conoscendo le basi
Le basi di un trapezio misurano 11 cm e 9 cm. Sapendo che l’area è 100 cm², calcola la misura dell’altezza.
Problema 3 – Calcolare le basi attraverso una frazione
L’altezza di un trapezio misura 3,5 m e l’area è 21 m². Calcola le basi sapendo che una è 5/3 dell’altra.
Problema 4 – Area, altezza e rapporto tra le basi
L’area di un trapezio è 114 m² e l’altezza misura 12 m. Calcola le basi sapendo che una è 17/21 dell’altra.
Problema 5 – Calcolare le basi di un trapezio
L’area di un trapezio è 84 cm² e la sua altezza misura 8 cm. Calcola le basi sapendo che la base maggiore è 5/2 della base minore.
Problema 6 – Area e rapporto fra le basi
In un trapezio l’altezza misura 13 cm e l’area è 273 cm². Calcola le basi sapendo che una è 9/5 dell’altra.
Problema 7 – Calcolare l’area attraverso le frazioni
In un trapezio l’altezza misura 1,2 m, la base minore è 2/3 dell’altezza e la base maggiore è 9/4 della base minore. Calcola l’area.
Problema 8 – Trapezio scomponibile in tre triangoli equilateri
In un trapezio la base minore misura 5 m e l’altezza è 866/1000 della base minore. Sapendo che, se si congiungono gli estremi della base minore con il punto di mezzo della base maggiore, il trapezio viene composto in tre triangoli equilateri, calcolane l’area e il perimetro.
Problema 9 – Calcolare l’altezza attraverso il rapporto tra le basi
Determina l’altezza di un trapezio sapendo che l’area è 122,1 m², la base minore misura 9 m e la base maggiore è 22/15 della base minore.
Problema 10 – Trapezio scomponibile in un quadrato e due triangoli
Se in un trapezio si conducono le altezze dagli estremi della base minore, esso viene scomposto in un quadrato di area 196 cm² e in due triangoli aventi area rispettivamente uguale a 1/2 e 1/7 dell’area del quadrato. Quali sono le misure delle basi e dell’altezza del trapezio?
Problema 11 – Somma e differenza delle basi
In un trapezio la somma delle basi è 25 cm e la loro differenza è 11 cm. Calcola l’area del trapezio sapendo che l’altezza è 4/9 della base maggiore.
Problema 12 – Somma e differenza delle basi e altezza frazionaria
In un trapezio la somma delle basi è 34 cm e la loro differenza è 10 cm. Calcola l’area del trapezio sapendo che l’altezza è 4/3 della base minore.
Problema 13 – Calcolare l’area conoscendo somma e differenza delle basi
La somma delle basi di un trapezio è 47 cm e la loro differenza è 9 cm. Calcola l’area del trapezio sapendo che l’altezza è 5/7 della base maggiore.
Problema 14 – Base maggiore e altezza
Calcola l’area di un trapezio sapendo che la base maggiore è 16/13 dell’altezza.
Problema 15 – Altezza e rapporto tra le basi
L’altezza di un trapezio misura 15 cm ed è 3/5 della base maggiore e 5/3 della minore. Calcola l’area del trapezio.
Problema 16 – Calcolare l’altezza attraverso la differenza delle basi
In un trapezio la base minore misura 7 dm, la base maggiore supera il doppio della base minore di 3 dm e l’altezza è uguale alla semisomma delle basi. Calcola l’area.
Problema 17 – Area e differenza tra le basi
L’area di un trapezio è 1020 cm² e la differenza tra le basi è 34 cm. Sapendo che la base maggiore è tripla della base minore, calcola l’altezza del trapezio.
Problema 18 – Trapezio e quadrato equivalente
In un trapezio la base minore misura 25 cm, la base maggiore supera di 15 cm il doppio della base minore e l’altezza misura 20 cm. Calcola il perimetro del quadrato equivalente al trapezio.
Problema 19 – Trapezio e triangolo equivalente
In un trapezio le basi misurano 25 cm e 15 cm e l’altezza è inferiore di 1 cm al doppio della base minore. Calcola, in un triangolo equivalente al trapezio dato, l’altezza relativa a un lato uguale alla base maggiore del trapezio.
Problema 20 – Calcolare la base maggiore
In un trapezio di area 143 cm² l’altezza misura 11 cm. Sapendo che la differenza fra il doppio dell’altezza e il triplo della base minore è 1 cm, calcola la base maggiore.
Problema 21 – Trapezio rettangolo diviso in un rettangolo e un triangolo
Un trapezio rettangolo è diviso dall’altezza CH in un rettangolo e in un triangolo, tale che il triangolo è equivalente a 5/16 del rettangolo. Sapendo che l’altezza CH del trapezio misura 6 m, che HB = 5 m e che il lato obliquo BC = 7,81 m, calcola l’area e il perimetro del trapezio.
Problema 22 – Trapezio rettangolo e differenza delle basi
In un trapezio rettangolo l’altezza misura 28 cm e l’area è 434 cm². Sapendo che il lato obliquo è 4 cm più corto dei 3/2 della base maggiore e che la base minore misura 5 cm, calcola il perimetro del trapezio.
Problema 23 – Trapezio isoscele costruito all’interno di un quadrato
Dato il quadrato ABCD della figura, si costruisce il trapezio isoscele ABEF prendendo i punti E ed F sulle diagonali del quadrato in modo tale che i segmenti AE e BF siano i 3/4 delle diagonali stesse. Calcola l’area del trapezio sapendo che la diagonale del quadrato è lunga 32 cm. Osserva che le diagonali del quadrato sono perpendicolari.
Problema 24 – Diagonali perpendicolari di un trapezio isoscele
In un trapezio isoscele le basi misurano 35 cm e 22 cm. Sapendo che le diagonali sono perpendicolari, calcola la loro misura comune.
Risultati dei 24 problemi sul trapezio
Di seguito sono riportati tutti i risultati, nello stesso ordine degli esercizi.
| Problema | Risultato |
|---|---|
| 1 | Altezza = 6 cm |
| 2 | Altezza = 10 cm |
| 3 | Basi = 7,5 m e 4,5 m |
| 4 | Basi = 10,5 m e 8,5 m |
| 5 | Basi = 15 cm e 6 cm |
| 6 | Basi = 27 cm e 15 cm |
| 7 | Area = 1,56 m² |
| 8 | Area ≈ 32,48 m²; perimetro = 25 m |
| 9 | Altezza = 11 m |
| 10 | Basi = 32 cm e 14 cm; altezza = 14 cm |
| 11 | Area = 100 cm² |
| 12 | Area = 272 cm² |
| 13 | Area = 470 cm² |
| 14 | Area = 35 m²* |
| 15 | Area = 255 cm² |
| 16 | Area = 144 dm² |
| 17 | Altezza = 30 cm |
| 18 | Perimetro del quadrato = 120 cm |
| 19 | Altezza del triangolo = 46,4 cm |
| 20 | Base maggiore = 19 cm |
| 21 | Area = 63 m²; perimetro ≈ 34,81 m |
| 22 | Perimetro = 94 cm |
| 23 | Area = 288 cm² |
| 24 | Diagonali ≈ 40,30 cm |
Come risolvere i problemi sul trapezio
Per risolvere correttamente i problemi sul trapezio è necessario conoscere le formule dell’area e comprendere le relazioni tra le basi, l’altezza e i lati obliqui.
Problemi con area e altezza
Quando sono note l’area e l’altezza, è possibile determinare la somma delle basi applicando la formula inversa dell’area. Se il problema fornisce anche il rapporto tra le basi, si possono ricavare le loro misure attraverso le proporzioni.
Problemi con somma e differenza delle basi
Quando sono note la somma e la differenza delle basi, si possono utilizzare le seguenti relazioni:
- Base maggiore: B = (Somma + Differenza) / 2
- Base minore: b = (Somma − Differenza) / 2
Una volta determinate le basi, è possibile calcolare l’area conoscendo l’altezza.
Problemi sul trapezio isoscele
Nel trapezio isoscele i lati obliqui sono congruenti e gli angoli adiacenti alla stessa base hanno uguale ampiezza. Tracciando le altezze dagli estremi della base minore, il trapezio viene suddiviso in un rettangolo centrale e due triangoli rettangoli congruenti. Questa scomposizione permette di applicare il teorema di Pitagora per determinare i lati obliqui o l’altezza.
Problemi sul trapezio rettangolo
Nel trapezio rettangolo uno dei lati non paralleli è perpendicolare alle basi e rappresenta l’altezza della figura. Tracciando l’altra altezza, è possibile scomporre il trapezio in un rettangolo e un triangolo rettangolo. Questa proprietà semplifica il calcolo dell’area e del perimetro.
Problemi con figure equivalenti
Due figure geometriche sono equivalenti quando possiedono la stessa area. Nei problemi che confrontano trapezi, quadrati e triangoli equivalenti, è necessario calcolare l’area della figura conosciuta e utilizzarla per determinare le dimensioni dell’altra.
- Guarda anche: Problemi sul Trapezio su YouMath
Perché esercitarsi con i problemi sul trapezio?
Gli esercizi sul trapezio permettono di consolidare importanti competenze matematiche: il calcolo delle superfici, l’utilizzo delle formule inverse, le proporzioni, le frazioni e la risoluzione dei problemi geometrici.
Lo studio di questa figura aiuta inoltre a comprendere come una figura geometrica possa essere scomposta in figure più semplici, come rettangoli e triangoli, per facilitarne l’analisi. Attraverso questi problemi gli studenti possono sviluppare il ragionamento logico e imparare a individuare le relazioni tra le diverse grandezze geometriche.
