I problemi sul parallelogramma permettono di approfondire il calcolo dell’area, del perimetro, delle altezze e delle dimensioni di una delle principali figure geometriche piane.
In questa raccolta proponiamo 22 esercizi di geometria sul parallelogramma, adatti agli studenti della scuola secondaria di primo grado e a chi desidera ripassare le formule e i principali procedimenti di risoluzione dei problemi geometrici.
Gli esercizi affrontano diversi argomenti: il calcolo dell’area e del perimetro, le altezze relative ai lati consecutivi, i rapporti tra le dimensioni, le figure equivalenti e isoperimetriche e la suddivisione del parallelogramma in superfici differenti.
Tutti i risultati sono riportati alla fine dell’articolo, in modo che gli studenti possano verificare autonomamente le proprie soluzioni.
- Guarda anche: Il parallelogramma, caratteristiche e definizioni
Le formule principali del parallelogramma
Prima di affrontare gli esercizi, ricordiamo le formule fondamentali del parallelogramma.
- Area del parallelogramma: A = b × h
- Perimetro del parallelogramma: P = 2 × (a + b)
- Semiperimetro: Sp = a + b
- Calcolo della base conoscendo area e altezza: b = A / h
- Calcolo dell’altezza conoscendo area e base: h = A / b
Dove:
- A = area del parallelogramma
- P = perimetro
- Sp = semiperimetro
- a = lato obliquo
- b = base
- h = altezza relativa alla base
Le due altezze del parallelogramma
Nel parallelogramma è possibile individuare due diverse altezze, ciascuna relativa a una coppia di lati paralleli.
L’area della figura rimane invariata indipendentemente dal lato scelto come base.
- Possiamo quindi scrivere: A = a × hₐ = b × hᵦ
- Dove hₐ e hᵦ rappresentano le altezze relative ai lati a e b.
Questa proprietà è particolarmente importante nei problemi in cui vengono fornite le due altezze e viene richiesto di calcolare i lati del parallelogramma.
Esercizi di geometria sul parallelogramma
Problema 1 – Altezze relative ai lati consecutivi
L’area di un parallelogramma è 15,6 m² e le altezze relative ai due lati consecutivi misurano 5 cm e 3,9 cm. Calcola il perimetro.
Problema 2 – Calcolare le altezze di un parallelogramma
L’area di un parallelogramma è 60 cm² e i suoi lati misurano 12 cm e 20 cm. Calcola le altezze relative ai due lati.
Problema 3 – Area e perimetro del parallelogramma
Le altezze relative a due lati consecutivi di un parallelogramma misurano 7,5 dm e 9 dm. Sapendo che l’area è 94,5 dm², calcola il perimetro del parallelogramma.
Problema 4 – Altezze e lati consecutivi
Le altezze relative a due lati consecutivi di un parallelogramma misurano 2,7 cm e 4,8 cm. Sapendo che l’area misura 17,28 cm², calcola il perimetro del parallelogramma.
Problema 5 – Calcolare un lato conoscendo le altezze
Nel parallelogramma ABCD della figura sono dati:
- AB = 7,5 cm
- AK = 6 cm
- CH = 4 cm
- Calcola BC.
Problema 6 – Calcolare la base di un parallelogramma
Dati:
- BC = 20 cm
- CH = 12 cm
- AK = 18 cm
Facendo riferimento alla figura dell’esercizio precedente, calcola AB.
Problema 7 – Calcolare l’altezza relativa al lato obliquo
Dati:
- AB = 5,6 m
- CH = 1,8 m
- BC = 2,4 m
Facendo riferimento alla figura dell’esercizio 5, calcola AK.
Problema 8 – Calcolare l’altezza relativa alla base
Dati:
- AB = 42 cm
- AK = 35 cm
- BC = 48 cm
Facendo riferimento alla figura dell’esercizio 5, calcola CH.
Problema 9 – Area e rapporto tra le altezze
In un parallelogramma di area 63,96 cm² un lato misura 7,8 cm e l’altezza relativa al secondo lato misura 5,2 cm. Calcola il secondo lato e l’altezza relativa al primo lato.
Problema 10 – Calcolo del secondo lato e dell’altezza
In un parallelogramma un lato misura 9,1 m e l’altezza relativa al secondo lato misura 7 m. Sapendo che l’area è 109,2 m², calcola il secondo lato e l’altezza relativa al primo lato.
Problema 11 – Perimetro attraverso le altezze
Le altezze relative a due lati consecutivi di un parallelogramma di area 45,6 cm² misurano 6 cm e 4,56 cm. Calcola il perimetro.
Problema 12 – Perimetro e rapporto tra i lati
Il perimetro di un parallelogramma è 40 cm e il lato maggiore è 3/2 del lato minore. Sapendo che l’area è 72 cm², calcola le altezze relative ai due lati.
Problema 13 – Area e rapporto tra i lati
L’area di un parallelogramma è 2025 mm² e il suo perimetro è 270 mm. Inoltre il lato minore è 2/3 del lato maggiore. Calcola le altezze relative ai due lati.
Problema 14 – Area, perimetro e altezza
Dato un parallelogramma di area 36 m², di perimetro 28 m e altezza relativa al lato maggiore lunga 4 m, calcola i due lati e l’altezza relativa al lato minore.
Problema 15 – Somma delle altezze e rapporto tra i lati
In un parallelogramma di area 504 cm² la somma delle altezze relative a due lati consecutivi è 32 cm; inoltre la maggiore delle due è 9/7 dell’altra. Calcola il perimetro del parallelogramma.
Problema 16 – Rapporto tra le altezze e area
La somma delle altezze relative a due lati consecutivi di un parallelogramma è 7 m e la maggiore delle due è 9/5 della minore. Sapendo che l’area è 13,5 m², calcola il perimetro del parallelogramma.
Problema 17 – Rettangolo equivalente e rapporti tra le dimensioni
Un parallelogramma è equivalente a 22/9 di un rettangolo in cui la base misura 15 cm e l’altezza è 4/5 della base. Sapendo che l’altezza del parallelogramma è 11 cm e che il lato consecutivo alla base è 3/5 della base stessa, calcola il perimetro del parallelogramma.
Problema 18 – Parallelogramma equivalente a una frazione del quadrato
Un parallelogramma è equivalente a 5/3 di un quadrato di area 576 cm². Sapendo che l’altezza relativa a un lato del parallelogramma misura 20 cm e che l’altro lato è uguale al lato del quadrato, calcola il perimetro del parallelogramma. Esprimi il risultato in decimetri.
Problema 19 – Parallelogramma e rettangolo isoperimetrici
Un parallelogramma è isoperimetrico a un rettangolo in cui la somma delle dimensioni è 72 cm e una di esse è 7/5 dell’altra. Calcola l’area del rettangolo; calcola inoltre l’area del parallelogramma sapendo che un lato misura 40 cm e l’altezza è 13/16 dell’altro lato.
Problema 20 – Parallelogramma isoperimetrico a un quadrato
Un parallelogramma è isoperimetrico a un quadrato di area 2,89 m². Calcola l’area del parallelogramma sapendo che la differenza di due lati consecutivi è 80 cm e l’altezza relativa al lato minore è 6/7 del lato stesso.
Problema 21 – Perimetro, rapporto tra i lati e area
Il perimetro di un parallelogramma è 46 cm e il lato maggiore supera di 3 cm il triplo del lato minore. Sapendo che l’area è 54 cm², calcola le altezze relative ai due lati.
Problema 22 – Parallelogramma diviso in due parti
Un parallelogramma ha area 946 m² e base lunga 43 m. Esso viene diviso in due parti mediante un segmento parallelo ai lati obliqui, in modo che la differenza tra le due aree sia 286 m². Calcola le lunghezze dei due segmenti in cui viene divisa la base.
Risultati dei 22 problemi sul parallelogramma
Di seguito sono riportati tutti i risultati, nello stesso ordine degli esercizi.
| Problema | Risultato |
|---|---|
| 1 | Perimetro = 18,4 cm* |
| 2 | Altezze = 5 cm; 3 cm |
| 3 | Perimetro = 46,2 dm |
| 4 | Perimetro = 20 cm |
| 5 | BC = 5 cm |
| 6 | AB = 30 cm |
| 7 | AK = 4,2 m |
| 8 | CH = 40 cm |
| 9 | Secondo lato = 12,3 cm; altezza = 8,2 cm |
| 10 | Secondo lato = 15,6 m; altezza = 12 m |
| 11 | Perimetro = 35,2 cm |
| 12 | Altezze = 9 cm; 6 cm |
| 13 | Altezze = 25 mm; 37,5 mm |
| 14 | Lati = 9 m e 5 m; altezza = 7,2 m |
| 15 | Perimetro = 128 cm |
| 16 | Perimetro = 16,8 m |
| 17 | Perimetro = 128 cm |
| 18 | Perimetro = 14,4 dm |
| 19 | Area rettangolo = 1260 cm²; area parallelogramma = 1040 cm² |
| 20 | Area parallelogramma = 1,68 m² |
| 21 | Altezze = 3 cm; 10,8 cm |
| 22 | Segmenti della base = 15 m e 28 m |
- Guarda anche: problemi sul parallelogramma su YouMath
Come risolvere i problemi sul parallelogramma
Per risolvere correttamente i problemi sul parallelogramma è necessario conoscere le formule dell’area e del perimetro, ma soprattutto comprendere la relazione tra i lati e le rispettive altezze.
A differenza del rettangolo, nel parallelogramma l’altezza non coincide generalmente con un lato della figura: è invece il segmento perpendicolare alla base che misura la distanza tra i due lati paralleli.
Problemi con le due altezze
Quando sono note l’area e le due altezze, è possibile calcolare i lati consecutivi dividendo l’area per ciascuna altezza. Una volta determinate le lunghezze dei lati, si può calcolare il perimetro.
Problemi con figure equivalenti
Due figure geometriche sono equivalenti quando possiedono la stessa area. Nei problemi che confrontano parallelogrammi, rettangoli e quadrati equivalenti, è necessario calcolare l’area della figura conosciuta e utilizzarla per determinare le dimensioni dell’altra.
Problemi con figure isoperimetriche
Due figure sono isoperimetriche quando hanno lo stesso perimetro. Un parallelogramma può quindi essere isoperimetrico a un rettangolo o a un quadrato, pur avendo un’area differente.
Problemi con frazioni e rapporti
Alcuni esercizi richiedono di determinare le dimensioni del parallelogramma attraverso rapporti frazionari, somme o differenze. In questi casi è utile rappresentare le grandezze mediante segmenti proporzionali oppure impostare semplici equazioni di primo grado.
Perché esercitarsi con i problemi sul parallelogramma?
Gli esercizi sul parallelogramma permettono di consolidare importanti competenze matematiche: il calcolo delle aree, l’applicazione delle formule inverse, l’utilizzo delle frazioni, le proporzioni e la risoluzione dei problemi geometrici.
Lo studio di questa figura aiuta inoltre a comprendere un principio fondamentale della geometria piana: l’area di un parallelogramma dipende dalla lunghezza della base e dalla relativa altezza, non direttamente dall’inclinazione dei lati obliqui.
Attraverso questi problemi gli studenti possono sviluppare il ragionamento logico e imparare a individuare le relazioni tra le diverse grandezze geometriche.
