Estrazione di radice e numeri reali

L’estrazione di radice è un’operazione matematica strettamente collegata alle potenze e permette di trovare il numero che, elevato a una determinata potenza, produce il valore di partenza. Studiando le radici, e in particolare la radice quadrata, incontriamo anche nuovi tipi di numeri: non sempre, infatti, il risultato di una radice è un numero naturale o una frazione. Per comprendere questo argomento è quindi utile conoscere l’insieme dei numeri reali, formato dai numeri razionali e irrazionali. In questo articolo vedremo cos’è l’estrazione di radice, come si collega alle potenze, come riconoscere le radici esatte e approssimate e come rappresentare i loro risultati sulla retta dei numeri reali.

Guarda anche: Esercizi e problemi di matematica: equivalenze, potenze e angoli

Che cos’è la radice quadrata

L’estrazione di radice è un’operazione matematica che permette di trovare un numero che, elevato a una determinata potenza, dà come risultato il numero di partenza. È quindi strettamente collegata alle potenze e può essere considerata, in un certo senso, l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

La forma di radice più utilizzata nella matematica della scuola media è la radice quadrata.

La radice quadrata di un numero è quel numero non negativo che, moltiplicato per se stesso, dà come risultato il numero di partenza.

Per esempio: √25 = 5 perché: 5 × 5 = 25 Allo stesso modo: √36 = 6 perché: 6 × 6 = 36

Possiamo quindi dire che l’estrazione di radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato:

5² = 25 → √25 = 5

Il simbolo della radice

L’estrazione di radice viene indicata attraverso il simbolo di radicale: √

In un’espressione come: √49 = 7 il numero 49 prende il nome di radicando.
Nelle radici possiamo inoltre trovare un piccolo numero chiamato indice della radice: ²√49

Il numero 2 indica che stiamo cercando una radice quadrata. Nelle radici quadrate, però, l’indice 2 normalmente non viene scritto. Per questo: ²√49 = √49

Che cosa significa estrarre una radice

Per comprendere l’estrazione di radice possiamo partire da una domanda.

Se sappiamo che: 7² = 49
possiamo chiederci: quale numero elevato al quadrato dà 49?
La risposta è 7: √49 = 7

Estrarre una radice significa quindi compiere il ragionamento inverso rispetto a una potenza.

I quadrati perfetti

Alcuni numeri hanno una radice quadrata che è un numero naturale. Questi numeri vengono chiamati quadrati perfetti.

È utile conoscere almeno i principali:

Numero	Quadrato	Radice
1	1² = 1	√1 = 1
2	2² = 4	√4 = 2
3	3² = 9	√9 = 3
4	4² = 16	√16 = 4
5	5² = 25	√25 = 5
6	6² = 36	√36 = 6
7	7² = 49	√49 = 7
8	8² = 64	√64 = 8
9	9² = 81	√81 = 9
10	10² = 100	√100 = 10

Quindi 25, 36, 49, 64 e 81 sono esempi di quadrati perfetti.

Quando la radice non è un numero intero

Non tutti i numeri sono quadrati perfetti. Prendiamo, per esempio: √2

Non esiste nessun numero naturale che, moltiplicato per se stesso, dia esattamente 2.

Infatti: 1² = 1 mentre: 2² = 4
La radice quadrata di 2 si trova quindi tra 1 e 2: 1 < √2 < 2
Utilizzando una calcolatrice possiamo ottenere un valore approssimato: √2 ≈ 1,4142

Le cifre decimali di √2 continuano senza terminare e senza formare un periodo. Per questo motivo √2 è un numero irrazionale.

Numeri razionali e numeri irrazionali

Per comprendere meglio le radici è utile distinguere due importanti categorie di numeri.

I numeri razionali sono i numeri che possono essere espressi sotto forma di frazione tra due numeri interi, con denominatore diverso da zero.

Sono razionali, per esempio:

5
1/2
0,75
0,333…

Infatti anche un numero intero può essere scritto come frazione: 5 = 5/1

I numeri irrazionali, invece, non possono essere rappresentati come rapporto tra due numeri interi. La loro rappresentazione decimale è infinita e non periodica.

Alcuni esempi sono: √2, √3, √5, π

I numeri razionali:

è necessario che possa essere trasformato in una frazione
che abbia un numero finito di cifre decimali, come $0,750,75$ ;
oppure infinite cifre, purché siano periodiche, cioè presentino una sequenza che si ripete: $0,3333\dots0,3333\dots$ ,

I numeri irrazionali sono numeri che non possono essere scritti come frazione di due numeri interi. Hanno infinite cifre dopo la virgola, ma senza una sequenza che si ripete regolarmente.

Per esempio: $2 = 1, 41421356237\dots$

Le radici e i numeri reali

I numeri reali comprendono sia i numeri razionali sia i numeri irrazionali.

Possiamo quindi rappresentare la situazione in questo modo:

NUMERI REALI (ℝ)
→ Numeri razionali (ℚ)
→ Numeri irrazionali

Per esempio:

√25 = 5 → numero naturale e razionale;
√9 = 3 → numero naturale e razionale;
√2 → numero irrazionale;
√3 → numero irrazionale.

Tutti questi numeri appartengono comunque all’insieme dei numeri reali.

Le radici sulla retta dei numeri reali

I numeri reali possono essere rappresentati su una retta numerica.

Anche una radice irrazionale occupa quindi una posizione precisa sulla retta.
Per esempio: √2 ≈ 1,414 si trova tra 1 e 2.
Allo stesso modo: √5 ≈ 2,236 si trova tra 2 e 3, perché: 2² = 4 e: 3² = 9 Dato che 5 si trova tra 4 e 9, √5 deve trovarsi tra 2 e 3: 2 < √5 < 3

Questo metodo è molto utile per stimare il valore di una radice quadrata.

La radice cubica

Oltre alla radice quadrata esistono radici con indice diverso.

Un esempio è la radice cubica, che ha indice 3: ∛8 = 2 perché: 2³ = 8
Allo stesso modo: ∛27 = 3 perché: 3³ = 27

In generale, nell’espressione: ⁿ√a

n è l’indice della radice;
a è il radicando;
il simbolo √ è il segno di radicale.

L’operazione consiste nel trovare il numero che, elevato alla potenza indicata dall’indice, produce il radicando.

Per esempio: ⁴√16 = 2 perché: 2⁴ = 16

Radice quadrata e numeri negativi

Nell’insieme dei numeri reali, non è possibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo.

Per esempio: √−9 non è un numero reale.

Questo accade perché il quadrato di qualsiasi numero reale è sempre positivo oppure uguale a zero:

3² = 9 oppure (−3)² = 9

Non esiste quindi nessun numero reale che, elevato al quadrato, dia −9.

Le radici con indice dispari, invece, possono avere un radicando negativo: ∛−8 = −2 perché: (−2)³ = −8

Attenzione: √25 non è ±5

Un errore frequente consiste nello scrivere:

√25 = ±5

Questa scrittura non è corretta. Il simbolo √ indica infatti la radice quadrata principale, cioè quella non negativa:

√25 = 5

È invece vero che l’equazione: x² = 25, possiede due soluzioni: x = 5 e x = −5 perché sia 5² sia (−5)² danno come risultato 25.

Come stimare una radice quadrata

Quando il radicando non è un quadrato perfetto, possiamo trovare tra quali numeri interi si trova la sua radice.

Supponiamo di voler stimare: √30 Cerchiamo i quadrati perfetti più vicini: 5² = 25 6² = 36

Poiché: 25 < 30 < 36 possiamo concludere che: 5 < √30 < 6 Con la calcolatrice possiamo poi trovare un valore più preciso: √30 ≈ 5,477

Esempi di estrazione di radice

Vediamo alcuni semplici esempi:

√16 = 4 perché 4² = 16
√64 = 8 perché 8² = 64
√100 = 10 perché 10² = 100
∛8 = 2 perché 2³ = 8
∛125 = 5 perché 5³ = 125

Invece: √7 . non può essere espresso come numero intero ed è un numero irrazionale.

Sappiamo però che:

2² = 4
3² = 9

quindi:

2 < √7 < 3

In sintesi

L’estrazione di radice è l’operazione che permette di trovare il numero che, elevato a una determinata potenza, produce il radicando.

La radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato: 6² = 36 ↔ √36 = 6

Se la radice quadrata di un numero naturale non è esatta, il risultato può essere un numero irrazionale, come accade con √2, √3 e √5.

Numeri razionali e numeri irrazionali formano insieme l’insieme dei numeri reali (ℝ). Le radici rappresentano quindi un passaggio importante nello studio della matematica perché permettono di comprendere perché i soli numeri naturali, interi e razionali non sono sufficienti per rappresentare tutte le quantità presenti sulla retta numerica.