I problemi di geometria sugli angoli sono tra gli esercizi più importanti di geometria nella scuola media, perché permettono di mettere in pratica le conoscenze acquisite su angoli acuti, retti, ottusi, piatti e giri, ma anche sui rapporti tra angoli complementari, supplementari, adiacenti, consecutivi e opposti al vertice. Per risolvere correttamente un problema non basta conoscere le definizioni: bisogna imparare a leggere attentamente il testo, individuare i dati disponibili e capire quali operazioni utilizzare per determinare l’ampiezza degli angoli incogniti.
Come ragionare nei problemi sugli angoli
Nei problemi di geometria sugli angoli è molto utile rappresentare la situazione con un piccolo disegno e indicare accanto agli angoli le misure conosciute. A seconda del problema, possiamo utilizzare diverse proprietà geometriche. Se due angoli sono complementari, per esempio, la loro somma è 90°; se sono supplementari, la somma è 180°. Possiamo inoltre incontrare problemi nei quali un angolo è il doppio, il triplo o una frazione di un altro, oppure esercizi che coinvolgono la bisettrice, che divide un angolo in due parti congruenti. Nei problemi più complessi sarà necessario combinare più informazioni e procedere con ordine, un passaggio alla volta, fino a trovare la misura richiesta.
Problema 1
Calcola l’ampiezza di due angoli complementari sapendo che uno di essi è quadruplo dell’altro
Prblema 2
Calcola l’ampiezza di due angoli supplementari, sapendo che uno di essi è triplo dell’altro
Problema 3
Calcola le ampiezze di due angoli esplementari, sapendo che l’ampiezza di uno di essi è cinque volte quella dell’altro
Problema 4
Calcola le ampiezze di due angoli, sapendo che uno di essi è doppio dell’altro e che la loro somma ha l’ampiezza di 21° 36′.
Problema 5
La somma di tre angoli (α, β, γ) ha l’ampiezza di 48° 30′. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi, sapendo che β è doppio di α e γ è triplo di α .
Problema 6
Calcola le ampiezze di due angoli, sapendo che la loro somma ha l’ampiezza d 63° e che uno di essi è triplo dell’altro
Problema 7
La somma di tre angoli (α, β, γ) ha l’ampiezza di 79°55′. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi, sapendo che β è doppio di α e γ è doppio di β.
Problema 8
Calcola le ampiezze di due angoli sapendo che la loro somma ha l’ampiezza di 25° 22′ 40″ e che uno di essi è triplo dell’altro.
Problema 9
La somma di tre angoli (α, β, γ) ha l’ampiezza di 30° 10′ 5″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che α è la metà di β e che γ è il doppio di β.
Problema 10
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 33° 57′ 21″. Calcolare l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β misura 8°5′ più di α e che γ misura 2° 2′ 3″ meno di α
Problema 11
Calcola le ampiezze di due angoli complementari, sapendo che uno di essi supera l’altro di 4°
Problema 12
Calcola le ampiezze di due angoli, sapendo che la loro somma misura 80°48′ e che uno di essi supera l’altro di 24° 12′
Problema 13
Calcola le ampiezze di due angoli supplementari, sapendo che uno di essi supera l’altro di 80°
Problema 14
Calcola le ampiezze di due angoli, sapendo che la loro somma misura 88° 21′ 10″ e che uno di essi supera l’altro di 35° 15′ 26″
Problema 15
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 35° 5′ 34″. Calcola l’ampiezza di ciascuna di essi, sapendo che β e γ superano α rispettivamente di 1° 5′ 12″ e di 3° 23′ 53″.
Problema 16
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 35° 5′ 34″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 3° 26′ 14″
Problema 17
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 35° 51′ 35″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 4° 12′ 15″.
Problema 18
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 43° 47′ 33″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 2° 35′ 18″.
Problema 19
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 60° 56′ 22″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 5° 18′ 22″.
Problema 20
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 27° 49′ 16″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 3° 27′ 41″.
Problema 21
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 49° 35′ 25″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 1° 46′ 25″.
Problema 22
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 42° 18′ 25″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 4° 12′ 15″.
Problema 23
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 58° 32′ 40″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è triplo di α e che γ supera β di 2° 18′ 20″.
Problema 24
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 47° 15′ 30″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi sapendo che β è doppio di α e che γ supera β di 5° 25′ 10″.
Problema 25
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 52° 34′ 48″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi, sapendo che β supera α di 2° 4′ 15″ e γ supera α di 4° 12′ 27″.
Problema 26
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 47° 18′ 35″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi, sapendo che β supera α di 1° 8′ 20″ e γ supera α di 3° 15′ 9″.
Problema 27
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 65° 42′ 18″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi, sapendo che β supera α di 2° 17′ 14″ e γ supera α di 5° 6′ 31″.
Problema 28
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 38° 25′ 41″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi, sapendo che β supera α di 1° 12′ 25″ e γ supera α di 2° 20′ 10″.
Problema 29
La somma di tre angoli (α, β, γ) misura 71° 16′ 52″. Calcola l’ampiezza di ciascuno di essi, sapendo che β supera α di 3° 5′ 18″ e γ supera α di 4° 14′ 26″.
Cosa fare quando la divisione di un angolo dà un resto
Quando dividiamo l’ampiezza di un angolo per un numero, possiamo eseguire la divisione separatamente partendo dai gradi, poi passando ai primi e infine ai secondi.
- Se la divisione dei gradi produce un resto, questo deve essere trasformato in primi ricordando che 1° = 60′; i primi ottenuti vengono poi sommati a quelli già presenti nell’angolo.
- Allo stesso modo, se la divisione dei primi produce un resto, questo viene trasformato in secondi utilizzando la relazione 1′ = 60″ e sommato ai secondi già presenti.
Se, infine, anche la divisione dei secondi non è esatta e rimane un resto, non possiamo più convertirlo in un’unità sessagesimale inferiore normalmente utilizzata. In questo caso il resto può essere espresso come frazione di secondo oppure come numero decimale.
Per esempio, se dobbiamo calcolare 247″ : 7, otteniamo 35″ con resto 2″; il resto corrisponde a 2/7 di secondo, cioè circa 0,286″. Il risultato sarà quindi 35,286″ circa. In sintesi, nella divisione degli angoli il resto viene sempre trasformato nell’unità immediatamente inferiore finché è possibile: gradi → primi → secondi → frazioni o decimali di secondo.
Esercitarsi con i problemi sugli angoli
Risolvere molti esercizi sugli angoli aiuta a sviluppare non soltanto le competenze geometriche, ma anche il ragionamento logico. È importante evitare di cercare immediatamente l’operazione da eseguire: prima bisogna comprendere quali relazioni esistono tra gli angoli presenti nel problema. Partendo dagli esercizi più semplici e passando gradualmente a quelli più complessi, diventerà sempre più facile riconoscere le proprietà da utilizzare e impostare correttamente la soluzione. Con un po’ di esercizio, i problemi con gli angoli diventano quindi un ottimo strumento per imparare a ragionare, rappresentare i dati e applicare le regole della geometria.
- Guarda anche: Problemi di geometria sugli angoli su YouMath
Soluzioni ai problemi sugli angoli
- Problema 1: α = 18°; β = 72°
- Problema 2: α = 45°; β = 135°
- Problema 3: α = 60°; β = 300°
- Problema 4: α = 7° 12′; β = 14° 24′
- Problema 5: α = 8° 5′; β = 16° 10′; γ = 24° 15′
- Problema 6: α = 15° 45′; β = 47° 15′
- Problema 7: α = 11° 25′; β = 22° 50′; γ = 45° 40′
- Problema 8: α = 6° 20′ 40″; β = 19° 2′
- Problema 9: α = 4° 18′ 35″; β = 8° 37′ 10″; γ = 17° 14′ 20″
- Problema 10: α = 9° 18′ 8″; β = 17° 23′ 8″; γ = 7° 16′ 5″
- Problema 11: α = 43°; β = 47°
- Problema 12: α = 28° 18′; β = 52° 30′
- Problema 13: α = 50°; β = 130°
- Problema 14: α = 26° 32′ 52″; β = 61° 48′ 18″
- Problema 15: i dati non danno risultati con secondi interi. Si ottiene α = 10° 12′ 9⅔″; β = 11° 17′ 21⅔″; γ = 13° 36′ 2⅔″
- Problema 16: α = 6° 19′ 52″; β = 12° 39′ 44″; γ = 16° 5′ 58″
- Problema 17: α = 6° 19′ 52″; β = 12° 39′ 44″; γ = 16° 51′ 59″
- Problema 18: α = 8° 14′ 27″; β = 16° 28′ 54″; γ = 19° 4′ 12″
- Problema 19: α = 11° 7′ 36″; β = 22° 15′ 12″; γ = 27° 33′ 34″
- Problema 20: α = 4° 52′ 19″; β = 9° 44′ 38″; γ = 13° 12′ 19″
- Problema 21: α = 9° 33′ 48″; β = 19° 7′ 36″; γ = 20° 54′ 1″
- Problema 22: α = 7° 37′ 14″; β = 15° 14′ 28″; γ = 19° 26′ 43″
- Problema 23: i dati non danno risultati con secondi interi. La divisione conduce a frazioni di secondo.
- Problema 24: α = 8° 22′ 4″; β = 16° 44′ 8″; γ = 22° 9′ 18″
- Problema 25: α = 15° 26′ 2″; β = 17° 30′ 17″; γ = 19° 38′ 29″
- Problema 26: α = 14° 18′ 22″; β = 15° 26′ 42″; γ = 17° 33′ 31″
- Problema 27: α = 19° 26′ 11″; β = 21° 43′ 25″; γ = 24° 32′ 42″
- Problema 28: α = 11° 37′ 42″; β = 12° 50′ 7″; γ = 13° 57′ 52″
- Problema 29: α = 21° 19′ 3″; β = 24° 24′ 21″; γ = 25° 33′ 29″
