Gli angoli in geometria sono uno degli argomenti fondamentali studiati nella scuola media. Imparare a riconoscere, misurare e classificare gli angoli è indispensabile per comprendere successivamente molte figure geometriche, come triangoli, quadrilateri, poligoni e circonferenze.
Gli angoli sono presenti anche nella vita quotidiana: li possiamo osservare nell’apertura di una porta, nelle lancette di un orologio, negli angoli di una stanza, nelle forbici, negli incroci stradali e nell’inclinazione di una scala.
Vediamo quindi che cos’è un angolo, quali sono le sue parti, come si misura e quali tipi di angoli esistono.
- Guarda anche: Le Area delle figure piane
Che cosa sono gli angoli in geometria
Un angolo è ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette aventi la stessa origine.
Le due semirette che formano l’angolo vengono chiamate lati dell’angolo, mentre il loro punto di origine comune prende il nome di vertice.
Possiamo quindi distinguere tre elementi fondamentali:
- vertice → il punto dal quale partono le due semirette;
- lati → le due semirette che delimitano l’angolo;
- ampiezza → indica quanto è aperto l’angolo.
Immaginiamo, per esempio, due semirette OA e OB che partono dal punto O.
- Il punto O è il vertice, mentre OA e OB sono i lati dell’angolo.
- L’angolo può essere indicato con: AÔB
- La lettera che rappresenta il vertice deve trovarsi al centro.
Le due parti determinate da un angolo
Due semirette con la stessa origine dividono il piano in due angoli.
Si distingue quindi tra:
- angolo convesso, quando non contiene il prolungamento dei suoi lati;
- angolo concavo, quando contiene il prolungamento dei suoi lati.
L’angolo convesso ha un’ampiezza minore di 180°, mentre quello concavo ha un’ampiezza maggiore di 180° e minore di 360°.
Convesso = non presenta una rientranza geometrica.
Concavo = presenta una rientranza geometrica.
- Guarda anche: Concavo e convesso, il significato
L’ampiezza di un angolo
La grandezza che permette di stabilire quanto un angolo sia aperto prende il nome di ampiezza.
È importante capire che l’ampiezza di un angolo non dipende dalla lunghezza dei suoi lati.
Le semirette, infatti, sono teoricamente infinite. Nei disegni vengono rappresentate con una determinata lunghezza soltanto per comodità.
Due angoli possono quindi avere lati disegnati con lunghezze diverse ed essere comunque perfettamente uguali se possiedono la stessa ampiezza.
Come si misurano gli angoli?
L’unità di misura più utilizzata per misurare gli angoli è il grado, indicato con il simbolo: °
- Un giro completo corrisponde a: 360°
- Mezzo giro corrisponde a: 180°
- Un quarto di giro corrisponde a: 90°
Lo strumento utilizzato a scuola per misurare l’ampiezza degli angoli è il goniometro.
Il goniometro, cosa è e come si usa
Per misurare un angolo con il goniometro bisogna:
- posizionare il centro del goniometro esattamente sul vertice dell’angolo;
- far coincidere uno dei lati dell’angolo con la linea dello 0°;
- osservare il punto nel quale l’altro lato incontra la scala graduata;
- leggere il numero corrispondente.
Per esempio, se il secondo lato attraversa la scala in corrispondenza di 60°, l’angolo misura: 60°
La classificazione degli angoli
Gli angoli vengono classificati principalmente in base alla loro ampiezza.
Angolo nullo
Un angolo nullo misura: 0°. I suoi due lati sono sovrapposti e orientati nella stessa direzione.
Angolo acuto
Un angolo acuto ha un’ampiezza maggiore di 0° e minore di 90°.
- Quindi: 0° < angolo acuto < 90°
- Sono angoli acuti, per esempio: 20°, 35°, 45°, 60°, 89°
Angolo retto
- Un angolo retto misura esattamente: 90°
È l’angolo che possiamo osservare, per esempio, negli spigoli di un foglio rettangolare o negli angoli di un quadrato.
Nei disegni geometrici viene generalmente indicato con un piccolo quadrato posto vicino al vertice.
Angolo ottuso
Un angolo ottuso è maggiore di 90° ma minore di 180°.
- Quindi: 90° < angolo ottuso < 180°
- Esempi: 100°, 120°, 135°, 170°
Angolo piatto
Un angolo piatto misura: 180°
- I suoi lati appartengono alla stessa retta ma sono orientati in direzioni opposte.
- L’angolo piatto corrisponde quindi a mezzo giro.
Angolo concavo
Un angolo concavo ha un’ampiezza maggiore di 180° ma minore di 360°.
- Quindi: 180° < angolo concavo < 360°
- Sono angoli concavi, per esempio: 200°, 250°, 270°, 300°
Angolo giro
- Un angolo giro misura: 360°
- Corrisponde a una rotazione completa intorno al vertice.
Tabella riassuntiva dei principali angoli
| Tipo di angolo | Ampiezza |
|---|---|
| Angolo nullo | 0° |
| Angolo acuto | maggiore di 0° e minore di 90° |
| Angolo retto | 90° |
| Angolo ottuso | maggiore di 90° e minore di 180° |
| Angolo piatto | 180° |
| Angolo concavo | maggiore di 180° e minore di 360° |
| Angolo giro | 360° |
Angoli consecutivi
Due angoli sono consecutivi quando:
- hanno lo stesso vertice;
- hanno un lato in comune;
- non hanno altri punti interni in comune.
Per esempio, se abbiamo gli angoli AÔB e BÔC, il lato OB è comune ai due angoli.
Angoli adiacenti
Due angoli sono adiacenti quando sono consecutivi e i loro lati non comuni appartengono alla stessa retta.
Di conseguenza, due angoli adiacenti formano insieme un angolo piatto.
- La somma delle loro ampiezze è quindi: 180°
- Per esempio: 120° + 60° = 180°
Angoli opposti al vertice
Quando due rette si incontrano, formano quattro angoli.
- Gli angoli che si trovano uno di fronte all’altro vengono chiamati angoli opposti al vertice.
Una proprietà fondamentale afferma che: gli angoli opposti al vertice sono congruenti, cioè possiedono la stessa ampiezza.
- Se uno degli angoli misura 50°, anche quello opposto misura: 50°
- Gli altri due misureranno: 180° − 50° = 130°
Angoli complementari
Due angoli sono complementari quando la somma delle loro ampiezze è: 90°
- Per esempio: 30° + 60° = 90°
- Quindi 30° e 60° sono angoli complementari.
Se conosciamo uno dei due angoli, possiamo trovare il suo complementare: 90° − angolo conosciuto
Per esempio, il complementare di 25° è: 90° − 25° = 65°
Angoli supplementari
Due angoli sono supplementari quando la loro somma è: 180°
- Per esempio: 70° + 110° = 180°
- Il supplementare di un angolo può essere calcolato con: 180° − angolo conosciuto
Per esempio, il supplementare di 135° è: 180° − 135° = 45°
Angoli esplementari
Due angoli vengono definiti esplementari quando la somma delle loro ampiezze è: 360°
- Per esempio: 100° + 260° = 360°
- Per trovare l’esplementare di un angolo possiamo quindi calcolare: 360° − angolo conosciuto
- Per esempio: 360° − 140° = 220°
Quindi l’esplementare di 140° è 220°.
Angoli congruenti
Due angoli sono congruenti quando possiedono la stessa ampiezza.
Per esempio, se: α = 45° e: β = 45°. Allora α e β sono congruenti.
Non è importante che siano disegnati in posizioni differenti o che i loro lati appaiano più lunghi: ciò che conta è esclusivamente la loro ampiezza.
La bisettrice di un angolo
La bisettrice è la semiretta che parte dal vertice e divide un angolo in due angoli congruenti.
- Se abbiamo un angolo di: 80° , la sua bisettrice lo divide in: 40° + 40°
- Se invece l’angolo misura 120°: 120° : 2 = 60° La bisettrice formerà quindi due angoli di 60° ciascuno.
Operazioni con gli angoli
Con le ampiezze degli angoli possiamo effettuare diverse operazioni.
Somma di angoli
- Se due angoli misurano rispettivamente 35° e 40°: 35° + 40° = 75°
Differenza tra angoli
- Se un angolo misura 120° e un altro 50°: 120° − 50° = 70°
Multipli di un angolo
- Se un angolo misura 30°, il suo doppio sarà: 30° × 2 = 60°
- Il triplo sarà: 30° × 3 = 90°
Sottomultipli di un angolo
- La metà di un angolo di 100° sarà: 100° : 2 = 50°
Gradi, primi e secondi
Per effettuare misurazioni più precise, il grado può essere suddiviso in unità più piccole.
- Un grado è formato da 60 primi: 1° = 60′
- Un primo è formato da 60 secondi: 1′ = 60″
Di conseguenza: 1° = 3.600″
Possiamo quindi trovare misure espresse in questo modo: 35° 20′ 15″, che si legge: 35 gradi, 20 primi e 15 secondi.
Questo sistema viene chiamato sistema sessagesimale, perché ogni unità viene suddivisa in 60 parti.
Gli angoli nei triangoli
Gli angoli sono fondamentali nello studio dei triangoli. La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è sempre: 180°
Per esempio, se un triangolo possiede due angoli di 50° e 60°, possiamo trovare il terzo: 180° − 50° − 60° = 70°
In base agli angoli possiamo inoltre distinguere:
- triangolo acutangolo → possiede tre angoli acuti;
- triangolo rettangolo → possiede un angolo retto;
- triangolo ottusangolo → possiede un angolo ottuso.
Gli angoli nei quadrilateri
Anche nei quadrilateri gli angoli rispettano una proprietà importante. I quadrilateri sono suddivisibili sempre in due triangoli, pertanto, la somma degli angoli interni di qualsiasi quadrilatero è 180 + 180: 360°
- Per esempio, nel quadrato abbiamo quattro angoli retti: 90° + 90° + 90° + 90° = 360°
La stessa somma vale però anche per rettangoli, rombi, parallelogrammi, trapezi e qualsiasi altro quadrilatero.
Un esempio pratico con l’orologio
Un orologio può essere utilizzato per comprendere facilmente gli angoli. Il quadrante completo rappresenta: 360° Poiché è suddiviso in 12 parti uguali: 360° : 12 = 30°
- Tra due numeri consecutivi dell’orologio esiste quindi un angolo di 30°.
- Alle ore 3:00, per esempio, le lancette formano un angolo retto: 90°
- Alle ore 6:00 formano invece un angolo piatto: 180°
Esempi ed esercizi sugli angoli
Proviamo a mettere in pratica quanto abbiamo imparato.
1. Un angolo misura 35°. Di quale tipo è?
- È un angolo acuto, perché è minore di 90°.
2. Un angolo misura 125°. Di quale tipo è?
- È un angolo ottuso, perché è maggiore di 90° e minore di 180°.
3. Qual è il complementare di 40°?
- 90° − 40° = 50°
4. Qual è il supplementare di 75°?
- 180° − 75° = 105°
5. Qual è l’esplementare di 220°?
- 360° − 220° = 140°
6. La bisettrice divide un angolo di 70°. Quanto misurano i due angoli ottenuti?
- 70° : 2 = 35°
- Quindi misurano 35° ciascuno.
7. Due angoli di un triangolo misurano 45° e 65°. Quanto misura il terzo?
- 180° − (45° + 65°) = 70°
- Il terzo angolo misura 70°.
Schema finale sugli angoli
Per ricordare i concetti principali possiamo riassumere:
- un angolo è formato da due semirette con la stessa origine;
- il punto comune è il vertice;
- le semirette sono i lati;
- l’apertura dell’angolo è la sua ampiezza;
- l’ampiezza viene generalmente misurata in gradi;
- l’angolo acuto è minore di 90°;
- l’angolo retto misura 90°;
- l’angolo ottuso è compreso tra 90° e 180°;
- l’angolo piatto misura 180°;
- l’angolo concavo è compreso tra 180° e 360°;
- l’angolo giro misura 360°;
- gli angoli complementari hanno somma 90°;
- gli angoli supplementari hanno somma 180°;
- gli angoli esplementari hanno somma 360°;
- la bisettrice divide un angolo in due angoli congruenti;
- gli angoli opposti al vertice sono congruenti.
Conclusione
Conoscere gli angoli in geometria significa comprendere uno degli elementi fondamentali su cui si basa tutta la geometria piana. Gli angoli permettono di descrivere l’apertura tra due semirette e sono indispensabili per studiare triangoli, quadrilateri, poligoni, rette e circonferenze.
- Guarda anche: Gli Angoli su YouMath
Per uno studente della scuola media è particolarmente importante imparare a distinguere angoli acuti, retti, ottusi, piatti, concavi e giri, saper utilizzare il goniometro e riconoscere le relazioni tra angoli complementari, supplementari, esplementari, consecutivi, adiacenti e opposti al vertice.
Una volta acquisiti questi concetti, sarà molto più semplice affrontare gli argomenti successivi della geometria e risolvere problemi che coinvolgono figure piane e misure angolari.
