Costruzioni geometriche fondamentali

Le costruzioni geometriche fondamentali rappresentano una parte importante dello studio della geometria e permettono di trasformare concetti e proprietà teoriche in semplici procedimenti grafici. Attraverso l’uso della riga e del compasso è possibile costruire con precisione l’asse di un segmento, rette perpendicolari, bisettrici, triangoli rettangoli e tangenti a una circonferenza, applicando proprietà come l’equidistanza e la perpendicolarità. Imparare le costruzioni geometriche fondamentali significa quindi non soltanto acquisire maggiore precisione nel disegno geometrico, ma soprattutto comprendere in modo pratico le relazioni tra segmenti, rette, angoli, triangoli e circonferenze, creando le basi per affrontare costruzioni e problemi geometrici più complessi.

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Le costruzioni geometriche fondamentali

Le costruzioni fondamentali di geometria sono procedimenti grafici che permettono di costruire con precisione figure, rette, angoli e altri elementi geometrici utilizzando principalmente riga e compasso. Imparare queste costruzioni è importante perché aiuta a comprendere concretamente concetti come perpendicolarità, equidistanza, bisettrice, asse di un segmento, triangoli e circonferenze.

In questa guida vedremo passo dopo passo alcune delle principali costruzioni geometriche fondamentali:

• asse di un segmento;
• retta perpendicolare a una retta data;
• bisettrice di un angolo;
• perpendicolare a un segmento in un suo estremo;
• triangolo rettangolo dati l’ipotenusa e un cateto;
• tangenti a una circonferenza da un punto esterno.

Gli strumenti per le costruzioni geometriche

Per eseguire le costruzioni fondamentali sono sufficienti pochi strumenti:

• riga, utilizzata per tracciare rette e segmenti;
• compasso, utilizzato per tracciare circonferenze e archi e per riportare distanze;
• matita, preferibilmente ben appuntita;
• gomma, per eliminare eventuali linee di costruzione non necessarie.

Nelle costruzioni classiche di geometria, la riga viene utilizzata soprattutto per tracciare rette, mentre il compasso permette di individuare punti che si trovano alla stessa distanza da un punto dato.

Asse di un segmento

L’asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento che passa per il suo punto medio.

Supponiamo di avere il segmento AB.

Costruzione

1. Disegna il segmento AB.
2. Apri il compasso con un’apertura maggiore della metà di AB.
3. Punta il compasso in A e traccia due archi, uno sopra e uno sotto il segmento.
4. Senza modificare l’apertura del compasso, punta in B e traccia altri due archi che intersechino quelli precedenti.
5. Chiama C e D i due punti di intersezione degli archi.
6. Con la riga traccia la retta passante per C e D.

La retta CD è l’asse del segmento AB.

Perché funziona?

I punti C e D sono entrambi equidistanti da A e B. La retta che li unisce passa quindi per il punto medio del segmento ed è perpendicolare ad AB.

Una proprietà fondamentale da ricordare è:

ogni punto appartenente all’asse di un segmento è equidistante dai suoi estremi.

Retta perpendicolare a una retta data

Due rette sono perpendicolari quando, incontrandosi, formano quattro angoli retti, cioè quattro angoli di 90°.

Supponiamo di avere una retta r e un punto P appartenente alla retta.

Costruzione

1. Punta il compasso in P e traccia un arco che intersechi la retta r in due punti, che chiameremo A e B.
2. Punta il compasso in A e traccia un arco sopra la retta.
3. Mantenendo la stessa apertura, punta in B e traccia un secondo arco che intersechi il precedente.
4. Chiama C il punto di intersezione.
5. Con la riga traccia la retta passante per P e C.

La retta PC è perpendicolare alla retta r.

In simboli possiamo scrivere:

PC ⟂ r

Il simbolo ⟂ significa “è perpendicolare a”.

Bisettrice di un angolo

La bisettrice di un angolo è la semiretta che parte dal vertice dell’angolo e lo divide in due angoli della stessa ampiezza.

Consideriamo un angolo AÔB, con vertice O.

Costruzione

1. Punta il compasso nel vertice O.
2. Traccia un arco che intersechi i due lati dell’angolo nei punti A e B.
3. Senza cambiare opportunamente l’apertura scelta, traccia un arco con centro in A.
4. Con la stessa apertura traccia un altro arco con centro in B.
5. I due archi si incontrano in un punto C.
6. Traccia la semiretta OC.

La semiretta OC è la bisettrice dell’angolo.

Avremo quindi:

AÔC = CÔB

Proprietà della bisettrice

Ogni punto della bisettrice di un angolo si trova alla stessa distanza dai due lati dell’angolo.

La bisettrice non deve essere confusa con l’asse di un segmento:

• l’asse riguarda un segmento;
• la bisettrice riguarda un angolo.

Perpendicolare a un segmento in un suo estremo

Un’altra costruzione fondamentale consiste nel tracciare una retta perpendicolare a un segmento passante per uno dei suoi estremi.

Consideriamo il segmento AB e supponiamo di voler costruire la perpendicolare passante per A.

Costruzione

1. Prolunga, se necessario, il segmento AB dalla parte di A.
2. Individua sulla retta un punto C in modo che A sia equidistante da B e C, cioè:

AC = AB

3. Punta il compasso in B e poi in C, utilizzando la stessa apertura, e traccia due archi che si intersechino in un punto D.
4. Unisci con la riga A e D.

La retta AD è perpendicolare alla retta contenente il segmento AB e passa esattamente per il suo estremo A.

Quindi:

AD ⟂ AB

Questa costruzione permette di ottenere geometricamente un angolo retto di 90° in corrispondenza dell’estremo del segmento.

Triangolo rettangolo dati l’ipotenusa e un cateto

Un triangolo rettangolo è un triangolo che possiede un angolo retto di 90°.

I due lati che formano l’angolo retto sono chiamati cateti, mentre il lato opposto all’angolo retto è chiamato ipotenusa.

Supponiamo di conoscere:

• l’ipotenusa AB;
• la lunghezza di uno dei cateti.

Per costruire il triangolo possiamo utilizzare una proprietà fondamentale della circonferenza.

Costruzione

1. Disegna il segmento AB della lunghezza dell’ipotenusa assegnata.
2. Costruisci il punto medio M di AB.
3. Con centro in M e raggio MA traccia una circonferenza.

Il segmento AB è quindi un diametro della circonferenza.

4. Punta il compasso in uno degli estremi dell’ipotenusa, per esempio A.
5. Apri il compasso della lunghezza del cateto assegnato.
6. Traccia un arco che intersechi la circonferenza in un punto C.
7. Unisci C con A e C con B.

Otteniamo il triangolo ABC.

L’angolo AĈB è retto e quindi misura 90°.

Perché il triangolo è sicuramente rettangolo?

La costruzione utilizza il teorema di Talete sulla circonferenza: ogni angolo inscritto in una semicirconferenza, i cui lati passano per gli estremi del diametro, è un angolo retto.

Di conseguenza, se AB è il diametro e C appartiene alla circonferenza:

AĈB = 90°

Il triangolo ABC è quindi rettangolo.

Tangenti a una circonferenza da un punto esterno

Una retta tangente a una circonferenza è una retta che possiede un solo punto in comune con la circonferenza.

Questo punto prende il nome di punto di tangenza.

Una proprietà fondamentale afferma che:

la tangente a una circonferenza è perpendicolare al raggio condotto al punto di tangenza.

Supponiamo di avere una circonferenza di centro O e un punto esterno P.

Da P è possibile tracciare due tangenti alla circonferenza.

Costruzione

1. Unisci il punto esterno P con il centro O della circonferenza.
2. Costruisci il punto medio M del segmento OP.
3. Punta il compasso in M e, con raggio MO, traccia una circonferenza avente OP come diametro.
4. Questa nuova circonferenza interseca quella iniziale in due punti, che chiameremo T₁ e T₂.
5. Unisci P con T₁.
6. Unisci P con T₂.

Le rette PT₁ e PT₂ sono le due tangenti alla circonferenza passanti per il punto esterno P.

Inoltre:

OT₁ ⟂ PT₁

e

OT₂ ⟂ PT₂

Una proprietà importante

I due segmenti tangenti condotti dallo stesso punto esterno hanno la stessa lunghezza:

PT₁ = PT₂

Divisione di un angolo retto in tre parti uguali

La divisione di un angolo retto in tre parti uguali è una costruzione geometrica che permette di suddividere un angolo di 90° in tre angoli della stessa ampiezza. Poiché 90° : 3 = 30°, il risultato della costruzione sarà costituito da tre angoli consecutivi di 30° ciascuno. La costruzione può essere eseguita con riga e compasso, sfruttando le proprietà della circonferenza e del triangolo equilatero, i cui angoli misurano 60°: costruendo opportunamente angoli di 60° e le relative bisettrici si possono individuare le semirette poste a 30° e 60° rispetto a uno dei lati dell’angolo retto. Queste due semirette interne dividono quindi l’angolo iniziale nelle tre parti desiderate: 30° + 30° + 30° = 90°.

Differenza tra asse, bisettrice, perpendicolare e tangente

Queste costruzioni possono sembrare simili, ma rappresentano concetti differenti.

Perché studiare le costruzioni fondamentali di geometria?

Le costruzioni geometriche con riga e compasso non servono soltanto per imparare a realizzare correttamente un disegno. Permettono soprattutto di trasformare le proprietà teoriche della geometria in operazioni concrete.

Quando costruiamo l’asse di un segmento, per esempio, utilizziamo il concetto di equidistanza; quando costruiamo una bisettrice lavoriamo sull’uguaglianza degli angoli; quando realizziamo una tangente utilizziamo la perpendicolarità tra raggio e tangente.

Per questo motivo è utile non imparare semplicemente a memoria i diversi passaggi, ma comprendere perché ogni costruzione funziona.

Fondamentali per la geometria piana

Le principali costruzioni fondamentali costituiscono una base indispensabile per affrontare successivamente costruzioni geometriche più complesse. Saper utilizzare correttamente riga e compasso permette di costruire perpendicolari, assi, bisettrici, triangoli rettangoli e tangenti, applicando concretamente le proprietà studiate nella geometria teorica.

L’esercizio ripetuto è il metodo migliore per acquisire precisione: inizialmente è consigliabile lasciare visibili gli archi di costruzione, perché aiutano a comprendere il procedimento e a verificare come sono stati individuati i diversi punti geometrici.

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