Il parallelogramma è una figura geometrica piana appartenente alla famiglia dei quadrilateri, caratterizzata dalla presenza di due coppie di lati opposti paralleli. Questa proprietà determina numerose caratteristiche geometriche relative ai lati, agli angoli, alle diagonali e alle altezze.
Il parallelogramma rappresenta una delle figure fondamentali della geometria euclidea e comprende, come casi particolari, il rettangolo, il rombo e il quadrato.
In questa scheda didattica analizzeremo tutte le caratteristiche del parallelogramma, dalle proprietà dei lati e degli angoli al calcolo dell’area e del perimetro, approfondendo anche il significato delle diagonali, delle altezze e della simmetria.
- Guarda anche: Il quadrato
Che cos’è un parallelogramma?
Il parallelogramma è un quadrilatero che possiede due coppie di lati opposti paralleli.
Consideriamo un parallelogramma ABCD, i cui vertici sono indicati consecutivamente in senso antiorario, partendo dal vertice A in basso a sinistra.
I lati opposti presentano le seguenti proprietà:
- AB e CD: sono paralleli e congruenti.
- AD e BC: sono paralleli e congruenti.
In simboli:
- AB ∥ CD
- AD ∥ BC
- AB = CD
- AD = BC
Il simbolo ∥ indica il parallelismo tra due rette o segmenti, mentre il simbolo = indica l’uguaglianza delle rispettive lunghezze.
Il parallelogramma è un poligono convesso, perché ogni segmento che unisce due suoi punti rimane interamente all’interno della figura.
Poligono concavo e convesso
- Poligono convesso: tutti gli angoli interni sono minori di 180° e non presenta rientranze.
- Poligono concavo: possiede almeno un angolo interno maggiore di 180° e presenta una rientranza.
Tutte le caratteristiche geometriche del parallelogramma
Il parallelogramma possiede proprietà che lo distinguono dagli altri quadrilateri.
| Elemento geometrico | Caratteristiche |
|---|---|
| Lati | 4, congruenti a due a due |
| Vertici | 4 (A, B, C, D) |
| Angoli interni | 4 |
| Somma degli angoli interni | 360° |
| Angoli opposti | Congruenti |
| Angoli consecutivi | Supplementari (somma 180°) |
| Lati opposti | Paralleli e congruenti |
| Base | Uno qualsiasi dei quattro lati |
| Altezza | Distanza perpendicolare tra due lati opposti |
| Diagonali | 2, generalmente di lunghezza diversa |
| Intersezione delle diagonali | Le diagonali si dividono reciprocamente a metà |
| Assi di simmetria | Nessuno nel parallelogramma generico |
| Centro di simmetria | Punto d’incontro delle diagonali |
| Perimetro | Somma delle lunghezze dei quattro lati |
| Area | Base × altezza |
| Classificazione | Quadrilatero convesso |
I lati del parallelogramma: parallelismo e congruenza
Una delle principali caratteristiche del parallelogramma è la relazione tra i suoi lati opposti.
I lati opposti sono sempre paralleli e congruenti, mentre i lati consecutivi possono avere lunghezze differenti.
Considerando il parallelogramma ABCD:
- AB = CD
- AD = BC
Questa proprietà significa che, conoscendo la lunghezza di due lati consecutivi, è possibile determinare la lunghezza di tutti e quattro i lati.
Esempio pratico
Un parallelogramma possiede:
- Lato AB = 12 cm
- Lato AD = 7 cm
Poiché i lati opposti sono congruenti:
- CD = 12 cm
- BC = 7 cm
Il parallelogramma possiede quindi due lati di 12 cm e due lati di 7 cm.
Attenzione: i quattro lati non sono necessariamente tutti uguali. Questa caratteristica appartiene al rombo, che rappresenta un caso particolare di parallelogramma.
- Rombo = 4 lati congruenti, 2 angoli congruenti
- Parallelogramma = 2 lati congruenti, 2 angoli congruenti
- Quadrato = 4 lati congruenti, 4 angoli congruenti
- Rettangolo = 2 lati congruenti, 4 angoli congruenti
Gli angoli del parallelogramma: proprietà e caratteristiche
Il parallelogramma possiede quattro angoli interni, la cui somma è sempre uguale a 360°, come avviene per tutti i quadrilateri semplici.
Le proprietà fondamentali sono due.
Gli angoli opposti sono congruenti
Gli angoli situati ai vertici opposti hanno la stessa ampiezza.
Nel parallelogramma ABCD:
- Angolo A = Angolo C
- Angolo B = Angolo D
Gli angoli consecutivi sono supplementari
Due angoli consecutivi, cioè situati alle estremità dello stesso lato, hanno una somma di 180°.
Pertanto:
- Angolo A + Angolo B = 180°
- Angolo B + Angolo C = 180°
Esempio pratico
Supponiamo che l’angolo A misuri 65°.
L’angolo opposto C misurerà anch’esso 65°.
Gli angoli consecutivi B e D misureranno invece:
180° − 65° = 115°
Le ampiezze dei quattro angoli saranno quindi:
- Angolo A = 65°
- Angolo B = 115°
- Angolo C = 65°
- Angolo D = 115°
Verifica:
65° + 115° + 65° + 115° = 360°
Nel parallelogramma generico gli angoli non sono necessariamente retti. Quando tutti gli angoli misurano 90°, la figura è un rettangolo.
Base e altezza del parallelogramma
La base e l’altezza del parallelogramma sono due grandezze fondamentali per il calcolo della sua superficie.
La base può essere uno qualsiasi dei quattro lati della figura.
gL’altezza è invece il segmento perpendicolare che misura la distanza tra la retta contenente la base e quella contenente il lato opposto.
A differenza del rettangolo, l’altezza di un parallelogramma generico non coincide con la lunghezza del lato obliquo.
Le due altezze del parallelogramma
Poiché il parallelogramma possiede due coppie di lati opposti paralleli, possiamo considerare due diverse altezze, ciascuna riferita a una coppia di basi.
- Prima altezza (h₁): relativa alla base AB o CD.
- Seconda altezza (h₂): relativa alla base AD o BC.
Le due altezze sono generalmente differenti e dipendono dalla scelta della base.
Esempio pratico
Consideriamo un parallelogramma con:
- Base AB = 12 cm
- Altezza relativa ad AB = 5 cm
- Lato obliquo AD = 7 cm
Per calcolare l’area dobbiamo utilizzare la base e la sua altezza perpendicolare:
- A = 12 × 5 = 60 cm²
Non sarebbe corretto moltiplicare 12 × 7, perché il lato obliquo non coincide con l’altezza.
Le diagonali del parallelogramma: caratteristiche e proprietà
Le diagonali sono i segmenti che collegano due vertici non consecutivi del parallelogramma.
Nel parallelogramma ABCD le diagonali sono:
- AC
- BD
La loro proprietà fondamentale è che si dividono reciprocamente a metà.
Se O rappresenta il punto d’intersezione delle diagonali:
- AO = OC
- BO = OD
Questo significa che il punto O è il punto medio di entrambe le diagonali.
Le diagonali sono sempre uguali?
No. Nel parallelogramma generico le diagonali hanno generalmente lunghezze differenti. Le diagonali diventano congruenti quando il parallelogramma è un rettangolo, compreso il caso particolare del quadrato.
Le diagonali sono perpendicolari?
Nel parallelogramma generico le diagonali non sono perpendicolari. Questa proprietà appartiene al rombo e, di conseguenza, anche al quadrato.
Come dividono la figura?
Ciascuna diagonale divide il parallelogramma in due triangoli congruenti, che possiedono quindi la stessa area.
Considerando entrambe le diagonali, il parallelogramma viene suddiviso in quattro triangoli di uguale area, anche se non necessariamente tutti congruenti.
Gli assi di simmetria del parallelogramma
Gli assi di simmetria sono rette che dividono una figura geometrica in due parti perfettamente sovrapponibili. Il parallelogramma generico non possiede assi di simmetria.
- Leggi anche: Il parallelogramma si YouMath
Tuttavia, possiede un centro di simmetria, individuato dal punto d’intersezione delle diagonali. Una rotazione di 180° attorno a questo punto lascia la figura invariata.
Differenza tra asse e centro di simmetria
- Asse di simmetria: permette di dividere la figura in due parti speculari.
- Centro di simmetria: è un punto rispetto al quale la figura rimane invariata dopo una rotazione di 180°.
I parallelogrammi particolari
I parallelogrammi particolari possiedono invece assi di simmetria:
- Rettangolo: 2 assi – Centro di simmetria
- Rombo: 2 assi – Centro di simmetria
- Quadrato: 4 assi – Centro di simmetria
