L’area delle figure piane è uno degli argomenti fondamentali della geometria. Calcolare l’area significa stabilire quanto spazio occupa una figura su un piano, cioè misurare l’estensione della sua superficie.
Quadrati, rettangoli, triangoli, parallelogrammi, rombi, trapezi e cerchi hanno forme diverse e, per questo motivo, richiedono formule specifiche per il calcolo dell’area.
Prima di imparare le formule, però, è importante comprendere che cosa significa realmente misurare una superficie e perché le aree vengono espresse attraverso unità di misura quadrate, come cm², m² e km².
Che cos’è l’area di una figura piana
L’area è la misura dell’estensione di una superficie.
Quando osserviamo una figura geometrica piana, possiamo considerare la parte di piano racchiusa dal suo contorno. L’area ci permette di attribuire un valore numerico a questa superficie.
Per esempio, possiamo calcolare l’area:
- del pavimento di una stanza;
- di un terreno;
- della superficie di un foglio;
- di una parete;
- di un campo da gioco;
- di una qualsiasi figura geometrica piana.
È importante distinguere area e superficie. La superficie è la parte di piano occupata dalla figura, mentre l’area è la misura di quella superficie.
Superficie → La parte di piano occupata dalla figura
Area → Misura della superficie
Come si misura un’area
Per comprendere il concetto di area possiamo immaginare di ricoprire completamente una superficie con tanti quadrati uguali, senza lasciare spazi vuoti e senza sovrapporli.
Se scegliamo come unità di misura un quadrato con il lato lungo 1 centimetro, la sua area sarà:
1 cm × 1 cm = 1 cm²
Se per ricoprire una figura sono necessari 20 di questi quadratini, possiamo dire che la figura ha un’area di:
20 cm²
Calcolare un’area significa quindi stabilire quante unità quadrate sono necessarie per ricoprire una determinata superficie.
Perché l’area si misura al quadrato?
Le misure di superficie utilizzano unità di misura quadrate perché una superficie possiede due dimensioni: lunghezza e larghezza.
Per esempio, consideriamo un rettangolo lungo 5 cm e largo 3 cm.
La sua area è: A = 5 cm × 3 cm = 15 cm²
Il risultato è espresso in centimetri quadrati perché: cm × cm = cm²
Un centimetro quadrato (cm²) corrisponde infatti alla superficie di un quadrato con il lato di 1 cm.
Allo stesso modo:
- 1 mm² è un quadrato di lato 1 mm;
- 1 cm² è un quadrato di lato 1 cm;
- 1 dm² è un quadrato di lato 1 dm;
- 1 m² è un quadrato di lato 1 m;
- 1 dam² è un quadrato di lato 1 dam;
- 1 hm² è un quadrato di lato 1 hm;
- 1 km² è un quadrato di lato 1 km.
Area e perimetro: qual è la differenza?
Area e perimetro sono due concetti differenti.
Il perimetro misura la lunghezza del contorno di una figura. L’area, invece, misura la superficie racchiusa all’interno di quel contorno.
Per questo motivo vengono utilizzate unità di misura differenti.
Se un rettangolo misura 5 cm × 3 cm:
Perimetro:
P = (5 + 3) × 2 = 16 cm
Area:
A = 5 × 3 = 15 cm²
Il perimetro è quindi espresso in centimetri, mentre l’area è espressa in centimetri quadrati.
Le formule per calcolare l’area delle principali figure piane
Ogni figura geometrica possiede caratteristiche specifiche. Vediamo le principali formule utilizzate per calcolarne l’area.
Area del quadrato
Il quadrato possiede quattro lati congruenti e quattro angoli retti.
Per calcolare la sua area è sufficiente moltiplicare la misura del lato per se stessa:
A = l × l = l²
dove:
- A = area;
- l = lato.
Esempio
Un quadrato ha il lato di 6 cm.
A = 6 × 6 = 36 cm²
L’area del quadrato è quindi 36 cm².
Area del rettangolo
Il rettangolo possiede quattro angoli retti e i lati opposti congruenti.
La sua area si calcola moltiplicando la base per l’altezza:
A = b × h
dove:
- b = base;
- h = altezza.
Esempio
Un rettangolo ha:
b = 8 cm
h = 5 cm
Quindi:
A = 8 × 5 = 40 cm²
L’area del rettangolo è 40 cm².
Area del parallelogramma
Il parallelogramma possiede i lati opposti paralleli e congruenti.
La sua area si calcola moltiplicando la base per l’altezza relativa a quella base:
A = b × h
L’altezza deve essere perpendicolare alla base scelta.
Esempio
Se:
b = 9 cm
h = 4 cm
avremo:
A = 9 × 4 = 36 cm²
Area del triangolo
L’area del triangolo si calcola moltiplicando la base per l’altezza e dividendo il risultato per 2:
A = (b × h) / 2
Questa formula può essere compresa immaginando due triangoli uguali che, opportunamente disposti, formano un parallelogramma.
Esempio
Un triangolo possiede:
b = 10 cm
h = 6 cm
Calcoliamo:
A = (10 × 6) / 2
A = 60 / 2 = 30 cm²
L’area è quindi 30 cm².
Area del rombo
Il rombo possiede quattro lati congruenti. Per calcolare la sua area possiamo utilizzare le due diagonali:
A = (D × d) / 2
dove:
- D = diagonale maggiore;
- d = diagonale minore.
Esempio
Se:
D = 12 cm
d = 8 cm
allora:
A = (12 × 8) / 2 = 48 cm²
Il rombo ha un’area di 48 cm².
Il rombo è anche un parallelogramma e, conoscendo una base e la relativa altezza, possiamo utilizzare anche:
A = b × h
Area del trapezio
Il trapezio è un quadrilatero con una coppia di lati paralleli. Questi due lati prendono il nome di base maggiore e base minore.
La formula dell’area è:
A = [(B + b) × h] / 2
dove:
- B = base maggiore;
- b = base minore;
- h = altezza.
Esempio
Un trapezio possiede:
B = 12 cm
b = 8 cm
h = 5 cm
Calcoliamo:
A = [(12 + 8) × 5] / 2
A = (20 × 5) / 2
A = 100 / 2 = 50 cm²
Area del deltoide
Il deltoide, chiamato anche aquilone, è un quadrilatero caratterizzato da due coppie di lati consecutivi congruenti.
Quando le sue diagonali sono perpendicolari, come nel deltoide classico studiato a scuola, l’area si calcola con:
A = (D × d) / 2
Esempio
Se le diagonali misurano 10 cm e 6 cm:
A = (10 × 6) / 2 = 30 cm²
Area del cerchio
Il cerchio è la parte di piano delimitata da una circonferenza.
La sua area si calcola utilizzando il raggio:
A = π × r²
dove:
- r = raggio;
- π (pi greco) ≈ 3,14.
Esempio
Un cerchio ha un raggio di 5 cm.
A = 3,14 × 5²
A = 3,14 × 25
A = 78,5 cm²
L’area del cerchio è quindi circa 78,5 cm².
Tabella delle formule delle aree
| Figura geometrica | Formula dell’area |
|---|---|
| Quadrato | A = l² |
| Rettangolo | A = b × h |
| Parallelogramma | A = b × h |
| Triangolo | A = (b × h) / 2 |
| Rombo | A = (D × d) / 2 |
| Trapezio | A = [(B + b) × h] / 2 |
| Deltoide | A = (D × d) / 2 |
| Cerchio | A = π × r² |
L’importanza dell’altezza nel calcolo delle aree
Un errore frequente consiste nel confondere un lato obliquo con l’altezza.
In geometria, l’altezza rappresenta la distanza perpendicolare tra una base e il punto, il lato o la retta parallela di riferimento.
Per esempio, in un parallelogramma inclinato il lato obliquo non coincide necessariamente con l’altezza.
Lo stesso principio vale per triangoli e trapezi: per applicare correttamente le formule dell’area bisogna individuare l’altezza relativa alla base considerata.
- Guarda anche: Area e formule per l’area su YouMath
Figure equivalenti
Due figure geometriche sono dette equivalenti quando possiedono la stessa area, anche se hanno forme differenti.
Per esempio, un rettangolo di dimensioni 6 cm × 4 cm possiede area:
A = 6 × 4 = 24 cm²
Anche un triangolo con base 8 cm e altezza 6 cm possiede:
A = (8 × 6) / 2 = 24 cm²
Le due figure hanno forme differenti, ma hanno la stessa area e sono quindi equivalenti.
Come calcolare l’area di una figura composta
Non tutte le figure possono essere ricondotte immediatamente a un quadrato, un rettangolo o un triangolo.
Una figura composta può essere suddivisa in figure geometriche più semplici delle quali conosciamo le formule.
Il procedimento consiste nel:
- suddividere la figura in forme geometriche semplici;
- individuare le misure necessarie;
- calcolare separatamente le diverse aree;
- sommare le aree ottenute.
In alcuni problemi può essere più semplice procedere per differenza, calcolando l’area di una figura più grande e sottraendo l’area della parte mancante.
Attenzione alle unità di misura
Prima di utilizzare una formula è fondamentale verificare che tutte le misure siano espresse nella stessa unità di misura.
Per esempio, non possiamo moltiplicare direttamente:
3 m × 40 cm
Prima dobbiamo effettuare un’equivalenza.
Possiamo trasformare 40 cm in metri:
40 cm = 0,4 m
e quindi:
3 × 0,4 = 1,2 m²
Oppure trasformare 3 m in centimetri:
3 m = 300 cm
300 × 40 = 12.000 cm²
I due risultati sono equivalenti:
1,2 m² = 12.000 cm²
Come risolvere correttamente un problema sulle aree
Quando dobbiamo risolvere un problema geometrico relativo alle aree è utile seguire sempre un procedimento ordinato:
- leggere attentamente il problema;
- disegnare la figura, quando necessario;
- individuare i dati conosciuti;
- verificare che le misure utilizzino unità compatibili;
- individuare la formula dell’area corretta;
- sostituire nella formula i valori conosciuti;
- eseguire i calcoli;
- indicare il risultato utilizzando la corretta unità di misura quadrata.
Conclusione
Comprendere il concetto di area delle figure piane significa imparare a misurare l’estensione delle superfici. L’area non deve essere considerata soltanto come una formula da memorizzare: le diverse formule derivano dalle caratteristiche geometriche delle figure e dalle relazioni che esistono tra di esse.
Il quadrato, il rettangolo, il parallelogramma, il triangolo, il rombo, il trapezio e il cerchio richiedono procedimenti differenti, ma il principio fondamentale rimane sempre lo stesso: misurare quante unità quadrate sono contenute nella superficie considerata.
Imparare a riconoscere base, altezza, lati, diagonali e raggio permette quindi di scegliere la formula corretta e di affrontare con maggiore sicurezza gli esercizi sul calcolo delle aree delle principali figure geometriche.
