I quadrilateri sono figure geometriche piane formate da quattro lati, quattro vertici e quattro angoli. Il loro studio è uno degli argomenti fondamentali della geometria nella scuola media, perché permette di comprendere figure molto comuni come il quadrato, il rettangolo, il rombo e il trapezio.
In questo articolo vedremo cosa sono i quadrilateri, come si classificano e quali sono le loro principali proprietà geometriche, con particolare attenzione a lati, angoli, diagonali, perimetro e area.
- Guarda anche: Cerchio e circonferenza
I quadrilateri sono:
- Il quadrato
- Il rettangolo
- Il rombo
- Il deltoide
- Il trapezio
- Il trapezio isoscele
- Il trapezio rettangolo
- Il parallelogramma
Che cos’è un quadrilatero
Un quadrilatero è un poligono formato da quattro lati.
Come tutti i poligoni, è costituito da una linea spezzata chiusa. Possiede:
- 4 lati;
- 4 vertici;
- 4 angoli interni;
- 4 angoli esterni;
- 2 diagonali.
Indicando i vertici consecutivi con A, B, C e D, i lati sono: AB, BC, CD, DA
mentre le due diagonali sono: AC e BD.
Le diagonali sono quindi i segmenti che collegano due vertici non consecutivi.
Proprietà generali dei quadrilateri
Esistono molti tipi di quadrilateri, ma tutti possiedono alcune proprietà comuni.
La somma degli angoli interni
La somma degli angoli interni di qualsiasi quadrilatero è sempre 360°. Questo perché un quadrilatero può essere diviso in due triangoli tracciando una delle sue diagonali.
In realtà questa proprietà deriva dalla formula valida per tutti i poligoni:
Somma degli angoli interni = (n − 2) × 180° dove n è il numero dei lati.
Un quadrilatero ha 4 lati, quindi:
- (4 − 2) × 180° = 2 × 180° = 360°
Ovvero:
- Â + B̂ + Ĉ + D̂ = 360°
Per esempio, se tre angoli misurano rispettivamente 80°, 100° e 90°, il quarto angolo misura:
- 360° − (80° + 100° + 90°) = 90°
Le diagonali
Ogni quadrilatero possiede due diagonali.
Le loro caratteristiche cambiano a seconda del tipo di quadrilatero: possono essere uguali, perpendicolari, oppure dividersi reciprocamente a metà.
Proprio le proprietà delle diagonali sono molto importanti per distinguere i diversi quadrilateri.
Classificazione dei quadrilateri
I quadrilateri possono essere classificati osservando soprattutto il parallelismo dei lati.
Una classificazione scolastica molto utilizzata distingue:
- quadrilateri generici (quadrilatero che non possiede proprietà particolari tali da farlo rientrare in una delle categorie speciali come trapezio, parallelogramma);
- trapezi;
- parallelogrammi.
Tra i parallelogrammi troviamo poi:
- rettangolo;
- rombo;
- quadrato.
È importante ricordare che le classificazioni geometriche possono essere formulate in modo leggermente diverso nei libri di testo. In particolare, alcuni testi definiscono il trapezio come un quadrilatero con almeno una coppia di lati paralleli, mentre altri richiedono una sola coppia. A scuola è quindi utile seguire la convenzione adottata dal proprio libro o dall’insegnante.
Il trapezio
Il trapezio è un quadrilatero caratterizzato dalla presenza di una coppia di lati paralleli, chiamati basi.
Generalmente si distingue tra:
- base maggiore, cioè la base più lunga;
- base minore, cioè la base più corta.
Gli altri due lati vengono chiamati lati obliqui.
La distanza perpendicolare tra le due basi prende il nome di altezza del trapezio.
Proprietà del trapezio
Gli angoli adiacenti allo stesso lato obliquo sono supplementari, cioè la loro somma è: 180°
L’area del trapezio si calcola moltiplicando la somma delle due basi per l’altezza e dividendo il risultato per 2: A = (B + b) × h : 2
dove:
- B = base maggiore;
- b = base minore;
- h = altezza.
Il perimetro è invece la somma dei quattro lati: P = B + b + l₁ + l₂
Il trapezio scaleno
Il trapezio scaleno è un trapezio nel quale i due lati obliqui hanno lunghezze diverse.
In generale:
- possiede due basi parallele;
- i lati obliqui sono diversi;
- gli angoli non sono necessariamente uguali;
- le diagonali non sono generalmente uguali.
È la forma più generale di trapezio.
Il trapezio isoscele
Il trapezio isoscele è un trapezio nel quale i due lati obliqui sono congruenti, cioè hanno la stessa lunghezza.
Possiede importanti proprietà:
- i lati obliqui sono congruenti;
- gli angoli adiacenti alla base maggiore sono congruenti;
- gli angoli adiacenti alla base minore sono congruenti;
- le diagonali sono congruenti;
- possiede un asse di simmetria perpendicolare alle basi.
In altre parole, il trapezio isoscele presenta una forma simmetrica.
Il trapezio rettangolo
Il trapezio rettangolo è un trapezio nel quale uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi.
Di conseguenza possiede due angoli retti, cioè due angoli di 90°.
Il lato perpendicolare alle basi rappresenta anche l’altezza del trapezio.
Le sue principali caratteristiche sono quindi:
- due basi parallele;
- due angoli retti;
- un lato perpendicolare alle basi;
- un lato obliquo.
Il parallelogramma
Il parallelogramma è un quadrilatero che possiede due coppie di lati opposti paralleli.
Le sue proprietà sono particolarmente importanti:
- i lati opposti sono paralleli;
- i lati opposti sono congruenti;
- gli angoli opposti sono congruenti;
- gli angoli consecutivi sono supplementari;
- le diagonali si dividono reciprocamente a metà;
- il punto d’incontro delle diagonali è il centro di simmetria del parallelogramma.
L’area del parallelogramma si calcola con: A = b × h , dove b è la base e h l’altezza relativa alla base.
Il perimetro è: P = 2 × (a + b), dove a e b rappresentano le lunghezze di due lati consecutivi.
Il rettangolo
Il rettangolo è un parallelogramma che possiede quattro angoli retti.
Ogni angolo misura quindi: 90°
Le principali proprietà del rettangolo sono:
- i lati opposti sono paralleli;
- i lati opposti sono congruenti;
- tutti gli angoli sono retti;
- le diagonali sono congruenti;
- le diagonali si dividono reciprocamente a metà;
- possiede due assi di simmetria;
- possiede un centro di simmetria nel punto d’incontro delle diagonali.
Attenzione: le diagonali di un rettangolo sono uguali, ma non sono generalmente perpendicolari.
- Perimetro del rettangolo: P = 2 × (b + h)
- Area del rettangolo: A = b × h
Il rombo
Il rombo è un parallelogramma che possiede quattro lati congruenti.
Può essere immaginato come un parallelogramma nel quale tutti i lati hanno la stessa lunghezza.
Le principali proprietà del rombo sono:
- tutti e quattro i lati sono congruenti;
- i lati opposti sono paralleli;
- gli angoli opposti sono congruenti;
- gli angoli consecutivi sono supplementari;
- le diagonali si dividono reciprocamente a metà;
- le diagonali sono perpendicolari;
- ogni diagonale divide a metà due angoli opposti;
- possiede due assi di simmetria, coincidenti con le diagonali;
- il punto d’incontro delle diagonali è il centro di simmetria.
Le diagonali di un rombo, in generale, non hanno la stessa lunghezza.
- Perimetro del rombo. Se l è la misura del lato: P = 4 × l
- Area del rombo. Utilizzando le diagonali: A = (D × d) : 2
dove:
- D = diagonale maggiore;
- d = diagonale minore.
L’area può essere calcolata anche come quella di qualsiasi parallelogramma:
- A = b × h
Il quadrato
Il quadrato è un quadrilatero regolare perché possiede quattro lati congruenti e quattro angoli congruenti.
Ogni angolo misura 90°.
Il quadrato possiede contemporaneamente le proprietà del rettangolo e del rombo.
Le sue proprietà sono:
- tutti i lati sono congruenti;
- i lati opposti sono paralleli;
- tutti gli angoli misurano 90°;
- le diagonali sono congruenti;
- le diagonali sono perpendicolari;
- le diagonali si dividono reciprocamente a metà;
- le diagonali dividono a metà gli angoli;
- possiede quattro assi di simmetria;
- possiede un centro di simmetria.
Il quadrato è quindi un caso particolare sia di rettangolo sia di rombo.
- Perimetro del quadrato: P = 4 × l
- Area del quadrato: A = l² , dove l rappresenta la lunghezza del lato.
Utilizzando la diagonale d, l’area può essere calcolata anche con: A = d² : 2
Il deltoide
Un altro quadrilatero importante è il deltoide, chiamato anche aquilone. Il deltoide possiede due coppie di lati consecutivi congruenti.
Per esempio: AB = AD e BC = CD
Le sue principali proprietà sono:
- presenta due coppie di lati consecutivi congruenti;
- una diagonale rappresenta un asse di simmetria;
- le diagonali sono perpendicolari;
- una diagonale divide l’altra a metà;
- una coppia di angoli opposti è congruente.
L’area del deltoide può essere calcolata mediante le diagonali: A = (D × d) : 2
Quadrilateri concavi e convessi
I quadrilateri possono essere distinti anche in convessi e concavi.
Quadrilatero convesso
Un quadrilatero è convesso quando tutti i suoi angoli interni sono minori di 180°. I quadrilateri normalmente studiati nella scuola media, come quadrato, rettangolo, rombo, parallelogramma e trapezio, sono convessi.
Quadrilatero concavo
Un quadrilatero è concavo quando possiede un angolo interno maggiore di 180°. In questo caso una parte della figura sembra “rientrare” verso l’interno. Anche nei quadrilateri concavi la somma degli angoli interni è 360°.
Le proprietà delle diagonali dei quadrilateri
Le diagonali sono particolarmente utili per riconoscere i diversi tipi di quadrilateri.
| Quadrilatero | Diagonali congruenti | Diagonali perpendicolari | Si dividono a metà |
|---|---|---|---|
| Trapezio generico | No | No | No |
| Trapezio isoscele | Sì | No | No |
| Parallelogramma | Non necessariamente | Non necessariamente | Sì |
| Rettangolo | Sì | No | Sì |
| Rombo | Non necessariamente | Sì | Sì |
| Quadrato | Sì | Sì | Sì |
| Deltoide | Non necessariamente | Sì | Solo una divide l’altra a metà |
Questa tabella permette di comprendere una caratteristica fondamentale: non basta osservare una sola proprietà per identificare con certezza un quadrilatero. Bisogna considerare insieme lati, angoli e diagonali.
Differenza tra quadrato, rettangolo, rombo e parallelogramma
Queste figure non sono completamente separate tra loro, ma appartengono alla stessa “famiglia”.
Il parallelogramma rappresenta la categoria più generale.
- Un parallelogramma con quattro angoli retti è un rettangolo.
- Un parallelogramma con quattro lati congruenti è un rombo.
- Un parallelogramma con quattro lati congruenti e quattro angoli retti è un quadrato.
Possiamo quindi scrivere:
QUADRATO → è anche un RETTANGOLO → è anche un PARALLELOGRAMMA
e contemporaneamente:
QUADRATO → è anche un ROMBO → è anche un PARALLELOGRAMMA
Questo significa che ogni quadrato è un rettangolo e un rombo, ma non tutti i rettangoli e tutti i rombi sono quadrati.
Schema riassuntivo dei principali quadrilateri
| Figura | Lati | Angoli | Caratteristica principale |
|---|---|---|---|
| Trapezio | Una coppia di lati paralleli* | Variabili | Possiede due basi parallele |
| Trapezio isoscele | Lati obliqui congruenti | Angoli alla stessa base congruenti | Diagonali congruenti |
| Trapezio rettangolo | Un lato perpendicolare alle basi | Due angoli di 90° | Un lato coincide con l’altezza |
| Parallelogramma | Lati opposti paralleli e congruenti | Opposti congruenti | Diagonali che si dimezzano |
| Rettangolo | Lati opposti congruenti | Quattro angoli di 90° | Diagonali congruenti |
| Rombo | Quattro lati congruenti | Opposti congruenti | Diagonali perpendicolari |
| Quadrato | Quattro lati congruenti | Quattro angoli di 90° | Regolare: unisce proprietà di rombo e rettangolo |
| Deltoide | Due coppie di lati consecutivi congruenti | Una coppia di opposti congruenti | Diagonali perpendicolari |
* A seconda della definizione adottata, il trapezio può essere definito come avente almeno una oppure esattamente una coppia di lati paralleli.
Formule di area e perimetro dei quadrilateri
| Figura | Perimetro | Area |
|---|---|---|
| Quadrato | P = 4l | A = l² |
| Rettangolo | P = 2(b + h) | A = b × h |
| Parallelogramma | P = 2(a + b) | A = b × h |
| Rombo | P = 4l | A = (D × d) : 2 |
| Trapezio | Somma dei 4 lati | A = (B + b) × h : 2 |
| Deltoide | Somma dei 4 lati | A = (D × d) : 2 |
Come riconoscere i quadrilateri
Per riconoscere correttamente un quadrilatero possiamo procedere in ordine.
Per prima cosa osserviamo i lati paralleli:
- due coppie di lati opposti paralleli → parallelogramma;
- una coppia di lati paralleli → trapezio, secondo la classificazione che considera il trapezio con una sola coppia di lati paralleli.
Poi osserviamo lati e angoli del parallelogramma:
- quattro angoli retti → rettangolo;
- quattro lati congruenti → rombo;
- quattro lati congruenti e quattro angoli retti → quadrato.
Se invece troviamo due coppie di lati consecutivi congruenti, possiamo trovarci davanti a un deltoide.
Le altezze nei quadrilateri
L’altezza è un segmento perpendicolare alla base considerata.
Nel rettangolo e nel quadrato è facile individuarla perché i lati consecutivi sono già perpendicolari.
Nel parallelogramma e nel rombo, invece, l’altezza non coincide necessariamente con un lato: rappresenta la distanza perpendicolare tra due lati opposti paralleli.
Nel trapezio l’altezza rappresenta la distanza tra le due basi parallele.
Questa distinzione è molto importante quando si calcola l’area.
Una proprietà fondamentale: la somma degli angoli
Qualunque sia la forma del quadrilatero, vale sempre: somma degli angoli interni = 360° . Questo perché un quadrilatero può essere diviso in due triangoli tracciando una delle sue diagonali.
Possiamo comprenderne facilmente il motivo tracciando una diagonale all’interno di un quadrilatero convesso.
La diagonale divide il quadrilatero in due triangoli. Poiché la somma degli angoli interni di ogni triangolo è 180°: 180° + 180° = 360° Questa proprietà vale per tutti i quadrilateri semplici.
In sintesi
I quadrilateri sono poligoni con quattro lati e rappresentano una grande famiglia di figure geometriche. Le loro caratteristiche dipendono principalmente dal parallelismo e dalla lunghezza dei lati, dall’ampiezza degli angoli e dalle proprietà delle diagonali.
Tra i principali quadrilateri studiati nella scuola media troviamo trapezio, parallelogramma, rettangolo, rombo, quadrato e deltoide. Comprendere le relazioni tra queste figure è più importante che imparare a memoria singole definizioni: il quadrato, per esempio, non è una figura completamente separata dalle altre, ma un parallelogramma che possiede contemporaneamente tutte le proprietà fondamentali del rettangolo e del rombo.
- Guarda anche: I quadrilateri su YouMath
Imparare a riconoscere queste caratteristiche permette non soltanto di classificare correttamente i quadrilateri, ma anche di risolvere più facilmente problemi riguardanti angoli, diagonali, perimetri e aree.
