La Teoria degli insiemi è la teoria matematica che utilizza il concetto di insieme nel linguaggio logico-matematico.
L’insieme matematico è un raggruppamento di elementi che è possibile stabilirlo univocamente e oggettivamente.
Prendere ad esempio l’insieme delle regioni d’Italia e chiedersi se la regione del Cossovo faccia parte o meno di questo insieme significa fare un ragionamento logico-matematico con la teoria degli insiemi.
GLI ARGOMENTI DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI:
- Concetto di insieme
- Gli elementi dell’insieme
- La rappresentazione dell’insieme
- Il sottoinsieme: l’insieme proprio e l’insieme improprio
- L’inclusione
- L’intersezione
- La disgiunzione
- L’uguaglianza degli insiemi
- L’insieme vuoto
- L’insieme universo
- L’insieme finito
- L’insieme infinito
- Gli insiemi disgiunti
- L’insieme complementare
- L’insieme delle parti
- La partizione insieme
- Il prodotto cartesiano
- La rappresentazione cartesiana
- Le operazioni tra gli insiemi: l’intersezione, unione, la differenza
Definizione di insieme
Un insieme è un concetto primitivo che definisce un raggruppamento qualsiasi di elementi che hanno una caratteristica in comune.
Rappresentazione di un insieme
Quando un elemento è contenuto nell’insieme, si parla di appartenenza. L’appartenenza si rappresenta graficamente con il simbolo di appartenenza.
Mentre la non appartenenza di un elemento ad un insieme, qualora non avesse le caratteristiche di comunanza a quel determinato insieme, si rappresenta con il simbolo di non appartenenza.
L’appartenenza o la non appartenenza si leggono con le seguenti scritture insiemistiche:
Le relazioni tra gli insiemi
Le relazioni tra gli insiemi è la corrispondenza che si stabilisce tra gli elementi di un insieme e gli elementi di un altro insieme. Questa corrispondenza si stabilisce sulla base delle proprietà tra gli elementi.
Il sottoinsieme
Dati due insiemi A e B, si dice A sottoinsieme di B quando gli elementi di A fanno parte del sovrainsieme B.
Per indicare che A è sottoinsieme di B si usa la seguente scrittura a destra, che si legge A è sottoinsieme di B, oppure l’insieme A è incluso nell’insieme B.
L’inclusione
L’inclusione è una relazione tra gli elementi di due insiemi che si verifica quando tutti gli elementi dell’insieme A appartengono all’insieme B, come vedi qui sotto nella rappresentazione grafica di Eulero Vern:
La rappresentazione di cui sopra può essere riportata anche nella scrittura:
{lupi} ⊂ A
{canidi} ⊂ B
Differenza tra Appartenenza e Inclusione
- L’Appartenenza definisce la relazione tra un elemento e l’insieme
- L’Inclusione definisce la relazione tra due insiemi
Se dico che “martedì è un giorno della settimana”, dico che martedì appartiene all’insieme dei giorni della settimana.
Se dico che “i giorni pari sono giorni della settimana”, dico che l’insieme dei giorni pari è incluso nell’insieme dei giorni della settimana.
Inclusione stretta e inclusione normale
La Teoria degli Insiemi prevede però che esistano due tipi di sottoinsieme e due tipi di inclusione:
l’Inclusione Stretta – quando tutti gli elementi di A fanno parte di B, ma non viceversa;
l‘Inclusione Normale – quando quando tutti gli elementi di A fanno parte di B e viceversa.
Ciò significa che nell’Inclusione Normale è prevista anche l’uguaglianza tra sovrainsieme e sottoinsieme; mentre nell’Inclusione Stretta gli elementi di sovrainsieme e sottoinsieme sono diversi.
Inclusione Normale e Inclusione Stretta vengono rappresentati coi simboli qui sotto e come si nota nel simbolo di Inclusione Normale sotto la “c” schiacciata c’è un trattino che indica l’uguale. Mentre nel simbolo dell’Inclusione Stretta in cui gli insiemi hanno elementi di diversità in quanto, come detto, gli elementi del sottoinsieme possono essere anche gli stessi dell’sovrainsieme ma non viceversa.
- un rapporto di Inclusione Stretta tra due insiemi è anche detto Insieme Proprio
- un rapporto di Inclusione Normale tra due insiemi è anche detto Insieme Improprio
Si parla dunque di:
sottoinsieme proprio quando gli insiemi sono diversi
sottoinsieme improprio quando gli insiemi o sono uguali o quando l’insieme B è sovrainsieme dell’insieme vuoto
L’intersezione
L’intersezione tra insiemi si verifica quando vi sono elementi in comune tra di essi, ovvero quando gli elementi appartengono contemporaneamente a due o più insiemi.
L’intersezione può essere rappresentata graficamente con il diagramma di Eluero Venn qui sotto:
- Il simbolo di intersezione è la “U” rovesciata: Õˆ.
L’inclusione stretta (o propria) e l’intersezione
Nel caso in cui si verifichi una situazione di “Inclusione stretta (o propria)”, dove cioè un insieme è incluso in un altro (vedi figura in basso), si può ugualmente parlare di “Intersezione”, ovvero che B ∩ A = B.
La disgiunzione
Quando due o più insiemi non hanno elementi in comune si parla di insiemi disgiunti. La disgiunzione è pertanto il contrario dell’intersezione e viene rappresentata attraverso il diagramma di Eulero Venn nel seguente modo:
- La scrittura elencativa di insiemi disgiunti è la seguente: A Õˆ B = {à˜}
L’Unione
L’Uguaglianza
L’uguaglianza è una relazione in cui due o più insiemi hanno gli stessi elementi, ovvero quando l’insieme A, ha gli stessi elementi dell’insieme B (o C, o D…).
La relazione di uguaglianza si rappresenta con la seguente notazione matematica
Gli insiemi hanno una reciproca relazione di inclusione o una doppia inclusione che può essere rappresentata dal seguente diagramma di Eulero Venn:
PROPRIETA’ DELL’UNIONE E DELL’INTERSEZIONE
LA DIFFERENZA TRA GLI INSIEMI
Si dice differenza tra due insiemi A e B, considerati nell’ordine, l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B
- Differenza di insiemi disgiunti
Se faccio la differenza di insiemi disgiunti, cioè tra insiemi che non hanno elementi comuni, ho la seguente situazione:
- Differenza tra sovrainsieme e sottoinsieme proprio
L’INSIEME VUOTO → L’insieme vuoto (à˜) è l’insieme che non ha elementi
L’INSIEME UNIVERSO → L’insieme universo (U) è l’insieme a cui appartengono tutti gli elementi degli insiemi che esistono
L’INSIEME FINITO → L’insieme finito (i) è l’insieme che comprende un numero determinato di elementi
L’INSIEME INFINITO → L’insieme infinito (I) è l’insieme che comprende un numero indeterminato di elementi
GLI INSIEMI COMPLEMENTARI
In italiano la parola “complementare” si usa come aggettivo e indica qualcosa che serve a “complementare”, ovvero a “completare”.
L’insieme complementare si rappresenta col seguente simbolo, cioè con un trattino che sovrasta la lettera:
Leggi anche: esercizi sulla complementarietà
L’INSIEME DELLE PARTI – L’insieme delle parti è l’insieme composto da tutti i sottoinsiemi e viene detto anche Insieme Potenza o Insieme Booleano.
L’insieme delle parti si indica con la scrittura P (A) dove “P” sta per “parti” e “A” sta per nome dell’insieme; oppure con 2A .
Dato ad esempio l’insieme B composto dagli elementi {1,2,3,4} l’insieme delle parti è composto da:
- tutti i sottoinsiemi – {1}{2}{3}{4}{à˜}{1,2}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}{3,4}
- dall’insieme vuoto – {1,2,3,4}
- dallo stesso insieme B – {à˜}
Scritto per elencazione l’insieme delle parti dell’insieme B è così composto:
P (B) ={{1,2,3,4}{1}{2}{3}{4}{1,2}{1,3}{1,4}{2,3}{2,4}{3,4}{à˜}}
** da notare come l’insieme {1,2,3,4} e l’insieme {à˜} siano sottoinsiemi impropri e gli altri siano sottoinsiemi propri.
LA PARTIZIONE INSIEME – La partizione dell’insieme è l’insieme composto dai suoi sottoinsiemi non vuoti e disgiunti tra loro. L’unione di tutti i sottoinsiemi costituisce il sovrainsieme di origine.
L’insieme A è costituito dalla partizione dei due sottoinsiemi N e S che riportato in scrittura di elencazione è così esposto: A = {1,2,3,4} ; N = {1,2}; S = {3,4}
IL PRODOTTO CARTESIANO
Dati due insiemi N e P il prodotto cartesiano è dato da tutte le coppie ordinate in cui il primo elemento appartiene ad N e il secondo a P. Il prodotto cartesiano si può scrivere nei seguenti modi:
N X P – si legge N per P, oppure N cartesiano P
In simboli:
Ogni singola coppia di elementi è racchiusa tra due parentesi tonde e tra loro sono separati da un punto e virgola. Ovvero: se N è composto dagli elementi a,b,c e P è composto dagli elementi 1,2 il prodotto cartesiano tra i due insiemi viene riportato così:
Autore dell’articolo: Pierpaolo Spanu
